Un trasmallo de Arquímedes es un mecanismo que genera la forma de una elipse . [1] Consiste en dos lanzaderas que están confinadas ("trasmalladas") a canales o rieles perpendiculares y una varilla que se fija a las lanzaderas mediante pivotes en posiciones fijas a lo largo de la varilla.
A medida que los transbordadores se mueven hacia adelante y hacia atrás, cada uno a lo largo de su canal, todos los puntos de la varilla se mueven en trayectorias elípticas. El movimiento de la barra se denomina movimiento elíptico. El semi-ejes una y b de las elipses tienen longitudes iguales a las distancias desde el punto en la varilla a cada uno de los dos pivotes.
Las líneas rectas descritas por los pivotes son casos especiales de una elipse, donde la longitud de un eje es el doble de la distancia entre los pivotes y la del otro es cero. Todos los puntos de un círculo con un diámetro definido por los dos pivotes se mueven alternativamente en tales líneas rectas. Este círculo corresponde al círculo más pequeño en una pareja Tusi .
El punto intermedio entre los pivotes orbita en un círculo alrededor del punto donde se cruzan los canales. Este círculo también es un caso especial de elipse. Aquí los ejes tienen la misma longitud. El diámetro del círculo es igual a la distancia entre los pivotes. La dirección de viaje alrededor de la órbita es opuesta al sentido de rotación del trasmallo. Por lo tanto, si se utiliza una manivela centrada en el punto de cruce de los canales para enganchar el trasmallo en el punto medio para impulsarlo, la rotación de la muñequilla y el trasmallo son iguales y opuestas, lo que en aplicaciones prácticas da como resultado una fricción adicional y acelerada. desgaste. Esto se ve agravado por las altas fuerzas debido al corto recorrido de la manivela de solo 1/4 del recorrido de los pivotes.
Un elipsograma es un trasmallo de Arquímedes destinado a dibujar, cortar o mecanizar elipses, por ejemplo, en madera u otros materiales laminados. Un elipsograma tiene el instrumento apropiado (lápiz, cuchillo, enrutador , etc.) unido a la varilla. Por lo general, las distancias a y b son ajustables, de manera que el tamaño y la forma de la elipse se pueden variar.
La historia de tales elipsografías no es segura, pero se cree que se remontan a Proclo y quizás incluso a la época de Arquímedes . [2]
Versiones de madera del trasmallo de Arquímedes se han producido también como juguetes o artículos de la novedad , y se vende bajo el nombre de Kentucky que no hacen nada , nada amoladoras , hacer nada máquinas , molinos de humo , o molinos de mierda . En estos juguetes, el instrumento de dibujo se reemplaza por una manivela , y la posición de las lanzaderas deslizantes suele ser fija.
Matemáticas
Trasmallo de Arquímedes como elipsograma
Diagrama
Loci de algunos puntos a lo largo y más allá de un trasmallo de Arquímedes, siendo el círculo verde los lugares de su punto medio; en el archivo SVG, mueva el puntero sobre el diagrama para mover el trasmallo
Trasmallo de Arquímedes con tres deslizadores
Sea C el extremo exterior de la varilla y A , B los pivotes de los deslizadores. Deje que p y q sean las distancias desde A a B y B a C , respectivamente. Supongamos que los deslizadores A y B se arrastra sobre la Y y X de coordenadas ejes, respectivamente. Cuando la varilla forma un ángulo θ con el eje x , las coordenadas del punto C están dadas por
Estos tienen la forma de ecuaciones paramétricas estándar para una elipse en posición canónica. La ecuación adicional
es inmediato también.
El trasmallo de Arquímedes es un ejemplo de articulación de cuatro barras con dos deslizadores y dos pivotes, y es un caso especial del trasmallo oblicuo más general. Los ejes que restringen los pivotes no tienen que ser perpendiculares y los puntos A , B y C pueden formar un triángulo. El locus resultante de C sigue siendo una elipse. [2]
Elipsograma de madera (hacia 1900) ahora en el Smithsonian .
Elipsograma expuesto en el Musée d'histoire des sciences de la Ville de Genève .
Ver también
Notas
- ^ Schwartzman, Steven (1996). Las palabras de las matemáticas . La Asociación Matemática de América . ISBN 0-88385-511-9.( copia en línea restringida , p. 223, en Google Books )
- ^ a b Wetzel, John E. (febrero de 2010). "Un antiguo locus elíptico". American Mathematical Monthly . 117 (2): 161-167. doi : 10.4169 / 000298910x476068 . JSTOR 10 .
Referencias
- JW Downs: Prácticas secciones cónicas: las propiedades geométricas de elipses, parábolas e hipérbolas . Mensajero Dover 2003, ISBN 978-0-486-42876-5 , págs. 4–5 ( copia en línea restringida , pág. 4, en Google Books )
- II Mecanismos de Artobolevskii para la generación de curvas planas . Pergamon Press 1964, ISBN 978-1483120003 .
enlaces externos
- Video de varios diseños de trasmallo en acción
- Cortar elipses en madera
- Foto de un Kentucky Do-Nothing
- Instrucciones sobre cómo construir un Kentucky Do-Nothing
- Video de un no hacer nada hecho con ladrillos de Lego
- "Wonky Trammel of Archimedes" Una exploración de un trasmallo generalizado.
- Patente de EE. UU. 4306598 para guía de corte de elipse que permite pequeñas elipses
- Video de YouTube Secrets of the Nothing Grinder de Mathologer