En matemáticas , una matriz de Sylvester es una matriz asociada a dos polinomios univariados con coeficientes en un campo o un anillo conmutativo . Las entradas de la matriz de Sylvester de dos polinomios son coeficientes de los polinomios. El determinante de la matriz de Sylvester de dos polinomios es su resultante , que es cero cuando los dos polinomios tienen una raíz común (en el caso de coeficientes en un campo) o un divisor común no constante (en el caso de coeficientes en un dominio integral ) .
Las matrices de Sylvester llevan el nombre de James Joseph Sylvester .
Definición
Formalmente, permiten p y q sean dos polinomios distinto de cero, respectivamente, de grado m y n . Por lo tanto:
La matriz de Sylvester asociada ap y q es entonces la matriz construida de la siguiente manera:
- si n > 0, la primera fila es:
- la segunda fila es la primera fila, desplazada una columna a la derecha; el primer elemento de la fila es cero.
- las siguientes n - 2 filas se obtienen de la misma manera, desplazando los coeficientes una columna a la derecha cada vez y estableciendo las otras entradas en la fila en 0.
- si m > 0 la ( n + 1) ésima fila es:
- las siguientes filas se obtienen de la misma forma que antes.
Por tanto, si m = 4 y n = 3, la matriz es:
Si uno de los grados es cero (es decir, el polinomio correspondiente es un polinomio constante distinto de cero), entonces hay cero filas que consisten en coeficientes del otro polinomio, y la matriz de Sylvester es una matriz diagonal de dimensión el grado del no- polinomio constante, con todos los coeficientes diagonales iguales al polinomio constante. Si m = n = 0, entonces la matriz de Sylvester es la matriz vacía con cero filas y cero columnas.
Una variante
Lo anterior parece matriz de Sylvester definidos en un documento de Sylvester de 1840. En un artículo de 1853, Sylvester introdujo la siguiente matriz, que es, hasta una permutación de las filas, la matriz de Sylvester de p y q , que son ambos considerados como teniendo grado máximo ( m , n ). [1] Esto es, por tanto, un-matriz que contiene pares de filas. Asumiendo se obtiene de la siguiente manera:
- el primer par es:
- el segundo par es el primer par, desplazado una columna a la derecha; los primeros elementos de las dos filas son cero.
- el restante los pares de filas se obtienen de la misma manera que arriba.
Por tanto, si m = 4 y n = 3, la matriz es:
El determinante de la matriz 1853 es, hasta signo, el producto del determinante de la matriz de Sylvester (que se llama la resultante de p y q ) por (todavía suponiendo ).
Aplicaciones
Estas matrices se utilizan en álgebra conmutativa , por ejemplo, para probar si dos polinomios tienen un factor común (no constante). En tal caso, el determinante de la matriz de Sylvester asociada (que se llama la resultante de los dos polinomios) es igual a cero. Lo contrario también es cierto.
Las soluciones de las ecuaciones lineales simultáneas.
dónde es un vector de tamaño y tiene tamaño , comprenden los vectores de coeficientes de esos y solo esos pares de polinomios (de grados y , respectivamente) que cumplen
donde se usa la multiplicación y la suma de polinomios. Esto significa que el núcleo de la matriz de Sylvester transpuesta da todas las soluciones de la ecuación de Bézout donde y .
En consecuencia, el rango de la matriz de Sylvester determina el grado de la máximo común divisor de p y q :
Además, los coeficientes de este máximo común divisor pueden expresarse como determinantes de submatrices de la matriz de Sylvester (ver Subresultante ).
Ver también
Referencias
- ^ Akritas, AG, Malaschonok, GI, Vigklas, PS: Secuencias Sturm y Secuencias restantes polinomiales subsultantes modificadas . Revista Serdica de Computación, vol. 8, No 1, 29--46, 2014