En lógica matemática , el lema del colapso de Mostowski , también conocido como colapso de Shepherdson-Mostowski , es un teorema de la teoría de conjuntos introducido por Andrzej Mostowski ( 1949 , teorema 3) y John Shepherdson ( 1953 ).
El lema de colapso de Mostowski establece que para cada R existe una clase transitiva única (posiblemente propia ) cuya estructura bajo la relación de pertenencia es isomorfa a ( X , R ), y el isomorfismo es único. El isomorfismo asigna cada elemento x de X al conjunto de imágenes de elementos y de X tal que y R x (Jech 2003:69).
Toda relación de tipo conjunto bien fundada puede integrarse en una relación extensional de tipo conjunto bien fundada. Esto implica la siguiente variante del lema de colapso de Mostowski: cada relación de conjunto bien fundada es isomorfa a la pertenencia a un conjunto en una clase (no única y no necesariamente transitiva).
Un mapeo F tal que F ( x ) = { F ( y ) : y R x } para todo x en X se puede definir para cualquier relación R en X bien fundada como un conjunto mediante recursión bien fundada . Proporciona un homomorfismo de R en una clase transitiva (no única, en general). El homomorfismo F es un isomorfismo si y solo si R es extensional.
La suposición de fundamento bien fundamentado del lema de Mostowski puede aliviarse o eliminarse en teorías de conjuntos no bien fundamentadas . En la teoría de conjuntos de Boffa, cada relación extensional similar a un conjunto es isomorfa a la pertenencia a un conjunto en una clase transitiva (no única). En la teoría de conjuntos con el axioma anti-fundamento de Aczel , cada relación de conjunto es bisimilar a la pertenencia a un conjunto en una clase transitiva única, por lo tanto, cada relación de conjunto mínima de bisimulación es isomorfa a una clase transitiva única.
Cada modelo de conjunto de ZF es similar a un conjunto y extensional. Si el modelo está bien fundado, entonces, según el lema de colapso de Mostowski, es isomorfo a un modelo transitivo de ZF y dicho modelo transitivo es único.