Las teorías de conjuntos no bien fundamentadas son variantes de la teoría de conjuntos axiomática que permiten que los conjuntos sean elementos de sí mismos y violan la regla de la fundamentación . En las teorías de conjuntos no bien fundamentadas, el axioma fundamental de ZFC se reemplaza por axiomas que implican su negación.
El estudio de los conjuntos no fundamentados fue iniciado por Dmitry Mirimanoff en una serie de artículos entre 1917 y 1920, en los que formuló la distinción entre conjuntos fundamentados y no fundados; no consideraba la fundamentación como un axioma . Aunque posteriormente se propusieron una serie de sistemas axiomáticos de conjuntos no bien fundados, no encontraron muchas aplicaciones hasta la teoría del hipereset de Peter Aczel en 1988. [1] [2] [3] La teoría de no -se han aplicado conjuntos bien fundamentados en el modelado lógico de procesos computacionales no terminantes en informática ( álgebra de procesos y semántica final ), lingüística y semántica del lenguaje natural ( teoría de la situación ), filosofía (trabajo sobre la paradoja del mentiroso ) y, en un escenario diferente, análisis no estándar . [4]
Detalles
En 1917, Dmitry Mirimanoff introdujo [5] [6] [7] [8] el concepto de fundamento de un conjunto:
- Un conjunto, x 0 , está bien fundado si no tiene una secuencia de pertenencia descendente infinita
En ZFC, no hay una secuencia ∈ descendente infinita según el axioma de regularidad . De hecho, el axioma de regularidad a menudo se llama el axioma de fundación , ya que se puede demostrar dentro de ZFC - (es decir, ZFC sin el axioma de regularidad) que bien fundado implica la regularidad. En variantes de ZFC sin el axioma de regularidad , surge la posibilidad de conjuntos no bien fundamentados con cadenas ∈ similares a conjuntos. Por ejemplo, un conjunto A tal que A ∈ A no está bien fundado.
Aunque Mirimanoff también introdujo una noción de isomorfismo entre conjuntos posiblemente no bien fundados, no consideró ni un axioma de fundamento ni de anti-fundamento. [7] En 1926, Paul Finsler introdujo el primer axioma que permitía conjuntos no bien fundados. Después de que Zermelo adoptó Foundation en su propio sistema en 1930 (del trabajo anterior de von Neumann 1925-1929), el interés por los conjuntos no bien fundados disminuyó durante décadas. [9] la teoría de conjuntos Un temprana no fue fundado Willard Van Orman Quine ‘s nuevas fundaciones , aunque no es meramente ZF con un reemplazo para la Fundación.
Varias pruebas de la independencia de la Fundación del resto de ZF fueron publicadas en la década de 1950, particularmente por Paul Bernays (1954), luego de un anuncio del resultado en un artículo anterior suyo de 1941, y por Ernst Specker, quien dio una prueba diferente en su Habilitationsschrift de 1951, prueba que se publicó en 1957. Luego, en 1957 , se publicó el teorema de Rieger , que proporcionaba un método general para realizar dicha demostración, reavivando cierto interés por los sistemas axiomáticos no fundamentados. [10] La siguiente propuesta de axioma llegó en una charla en el congreso de 1960 de Dana Scott (nunca publicada como un artículo), proponiendo un axioma alternativo ahora llamado SAFA . [11] Otro axioma propuesto a fines de la década de 1960 fue el axioma de superuniversalidad de Maurice Boffa , descrito por Aczel como el punto culminante de la investigación de su década. [12] La idea de Boffa era hacer que la base fallara tanto como fuera posible (o más bien, según lo permita la extensionalidad): el axioma de Boffa implica que toda relación extensional de tipo conjunto es isomórfica al predicado de la condición de elemento en una clase transitiva.
Un enfoque más reciente de la teoría de conjuntos no bien fundada, iniciado por M. Forti y F. Honsell en la década de 1980, toma prestado de la informática el concepto de bisimulación . Los conjuntos bisimilares se consideran indistinguibles y, por lo tanto, iguales, lo que conduce a un fortalecimiento del axioma de extensionalidad . En este contexto, los axiomas que contradicen el axioma de regularidad se conocen como axiomas anti-fundamento , y un conjunto que no está necesariamente bien fundado se denomina hiperestablecimiento .
Cuatro axiomas anti-fundamento mutuamente independientes son bien conocidos, a veces abreviados por la primera letra en la siguiente lista:
- A FA ("Axioma anti-fundación") - debido a M. Forti y F. Honsell (esto también se conoce como axioma anti-fundación de Aczel );
- S AFA ("Scott's AFA") - debido a Dana Scott ,
- F AFA ("Finsler's AFA") - debido a Paul Finsler ,
- B AFA ("Boffa's AFA") - debido a Maurice Boffa .
Básicamente corresponden a cuatro nociones diferentes de igualdad para conjuntos no bien fundamentados. El primero de ellos, AFA, se basa en gráficos puntiagudos accesibles (apg) y establece que dos hipersets son iguales si y solo si pueden ser representados por el mismo apg. Dentro de este marco, se puede demostrar que el llamado átomo de Quine , definido formalmente por Q = {Q}, existe y es único.
Cada uno de los axiomas dados anteriormente extiende el universo del anterior, de modo que: V ⊆ A ⊆ S ⊆ F ⊆ B. En el universo de Boffa, los distintos átomos de Quine forman una clase adecuada. [13]
Vale la pena enfatizar que la teoría de hiperconjuntos es una extensión de la teoría de conjuntos clásica más que un reemplazo: los conjuntos bien fundados dentro de un dominio de hiperconjuntos se ajustan a la teoría de conjuntos clásica.
Aplicaciones
Los hipersets de Aczel fueron ampliamente utilizados por Jon Barwise y John Etchemendy en su libro de 1987 The Liar , sobre la paradoja del mentiroso ; El libro también es una buena introducción al tema de los conjuntos no bien fundamentados.
El axioma de superuniversidad de Boffa ha encontrado aplicación como base para el análisis axiomático no estándar . [14]
Ver también
- Teoría de conjuntos alternativa
- conjunto universal
- Tortugas todo el camino hacia abajo
Notas
- ^ Pakkan y Akman (1994) , enlace de sección .
- ^ Rathjen (2004) .
- ^ Sangiorgi (2011) , págs. 17-19, 26.
- ^ Ballard y Hrbáček (1992) .
- ^ Levy (2002) , p. 68.
- ^ Hallett (1986) , p. 186 .
- ↑ a b Aczel (1988) , p. 105.
- ^ Mirimanoff (1917) .
- ^ Aczel (1988) , p. 107.
- ^ Aczel (1988) , págs. 107–8.
- ^ Aczel (1988) , págs. 108–9.
- ^ Aczel (1988) , p. 110.
- ^ Nitta, Okada y Tsouvaras (2003) .
- ^ Kanovei y Reeken (2004) , p. 303.
Referencias
- Aczel, Peter (1988), Conjuntos no bien fundados , CSLI Lecture Notes, 14 , Stanford, CA: Universidad de Stanford, Centro para el estudio del lenguaje y la información, págs. Xx + 137 , ISBN 0-937073-22-9, MR 0.940.014 .
- Ballard, David; Hrbáček, Karel (1992), "Fundamentos estándar para análisis no estándar", Journal of Symbolic Logic , 57 (2): 741–748, doi : 10.2307 / 2275304 , JSTOR 2275304 .
- Barwise, Jon; Etchemendy, John (1987), The Liar: An Essay on Truth and Circularity , Oxford University Press, ISBN 9780195059441
- Barwise, Jon; Moss, Lawrence S. (1996), Círculos viciosos. Sobre las matemáticas de los fenómenos no bien fundamentados , CSLI Lecture Notes, 60 , CSLI Publications, ISBN 1-57586-009-0
- Boffa., M. (1968), "Les ensembles extraordinaires", Bulletin de la Société Mathématique de Belgique , 20 : 3–15, Zbl 0179.01602
- Boffa, M. (1972), "Forcing et négation de l'axiome de Fondement", Acad. Roy. Belgique, Mém. Cl. Sci., Coll. 8∘ , Serie II, 40 (7), Zbl 0286.02068
- Devlin, Keith (1993), "§7. Teoría de conjuntos no bien fundamentada ", The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory (2da ed.), Springer, ISBN 978-0-387-94094-6
- Finsler, P. (1926), "Über die Grundlagen der Mengenlehre. I: Die Mengen und ihre Axiome", Math. Z. , 25 : 683–713, doi : 10.1007 / BF01283862 , JFM 52.0192.01; traducción en Finsler, Paul; Booth, David (1996). Teoría de conjuntos de Finsler: platonismo y circularidad: traducción de los artículos de Paul Finsler sobre la teoría de conjuntos con comentarios introductorios . Saltador. ISBN 978-3-7643-5400-8.
- Hallett, Michael (1986), teoría de conjuntos cantoriana y limitación de tamaño , Oxford University Press, ISBN 9780198532835.
- Kanovei, Vladimir ; Reeken, Michael (2004), Análisis no estándar, Axiomáticamente , Springer, ISBN 978-3-540-22243-9
- Levy, Azriel (2012) [2002], Teoría básica de conjuntos , Publicaciones de Dover, ISBN 9780486150734.
- Mirimanoff, D. (1917), "Les antinomies de Russell et de Burali-Forti et le probleme fondamental de la theorie des ensembles", L'Enseignement Mathématique , 19 : 37-52, JFM 46.0306.01 .
- Nitta; Okada; Tzouvaras (2003), Clasificación de conjuntos no fundamentados y una aplicación (PDF)
- Pakkan, MJ; Akman, V. (1994-1995), "Problemas en la teoría de conjuntos de sentido común" (PDF) , Revisión de inteligencia artificial , 8 (4): 279-308, doi : 10.1007 / BF00849061 , hdl : 11693/25955
- Rathjen, M. (2004), "Predicativity, Circularity, and Anti-Foundation" (PDF) , en Link, Godehard (ed.), Cien años de la paradoja de Russell: Matemáticas, lógica, filosofía , Walter de Gruyter, ISBN 978-3-11-019968-0
- Sangiorgi, Davide (2011), "Orígenes de la bisimulación y coinducción", en Sangiorgi, Davide; Rutten, Jan (eds.), Temas avanzados en bisimulación y coinducción , Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-00497-9
- Scott, Dana (1960), "Un tipo diferente de modelo para la teoría de conjuntos", artículo inédito, charla dada en el Congreso de Lógica, Metodología y Filosofía de la Ciencia de Stanford de 1960
Otras lecturas
- Moss, Lawrence S. "Teoría de conjuntos no bien fundamentada" . Enciclopedia de Filosofía de Stanford .
enlaces externos
- Página de Metamath sobre el axioma de la regularidad. Menos del 1% de los teoremas de esa base de datos dependen en última instancia de este axioma, como puede mostrarse mediante un comando ("mostrar uso") en el programa Metamath.