En geometría , las coordenadas trilineales x: y: z de un punto relativo a un triángulo dado describen las distancias relativas dirigidas desde las tres líneas laterales del triángulo. Las coordenadas trilineales son un ejemplo de coordenadas homogéneas . La razón x: y es la razón de las distancias perpendiculares desde el punto a los lados ( extendidos si es necesario) opuestos a los vértices A y B respectivamente; la razón y: z es la razón de las distancias perpendiculares desde el punto hasta las líneas laterales opuestas a los vértices B y Crespectivamente; y del mismo modo para z: x y vértices C y A .
En el diagrama de la derecha, las coordenadas trilineales del punto interior indicado son las distancias reales ( a ' , b' , c ' ), o equivalentemente en forma de razón, ka' : kb ' : kc' para cualquier constante positiva k . Si un punto está en una línea lateral del triángulo de referencia, su coordenada trilineal correspondiente es 0. Si un punto exterior está en el lado opuesto de una línea lateral desde el interior del triángulo, su coordenada trilineal asociada con esa línea lateral es negativa. Es imposible que las tres coordenadas trilineales no sean positivas.
El nombre "coordenadas trilineales" a veces se abrevia como "trilineales".
Notación
La notación de relación x : y : z para coordenadas trilineales es diferente de la notación triple ordenada ( a ' , b' , c ' ) para distancias dirigidas reales. Aquí cada uno de x , y y z no tiene significado por sí mismo; su relación con uno de los otros sí tienen significado. Por lo tanto, debe evitarse la "notación de coma" para coordenadas trilineales, porque la notación ( x , y , z ), que significa un triple ordenado, no permite, por ejemplo, ( x , y , z ) = (2 x , 2 y , 2 z ), mientras que la "notación de dos puntos" permite x : y : z = 2 x : 2 y : 2 z .
Ejemplos de
Las coordenadas trilineales del incentro de un triángulo ABC son 1: 1: 1; es decir, las distancias (dirigidas) desde el incentro a las líneas laterales BC , CA , AB son proporcionales a las distancias reales indicadas por ( r , r , r ), donde r es el radio interno del triángulo ABC . Dadas las longitudes de los lados a, b, c tenemos:
- A = 1: 0: 0
- B = 0: 1: 0
- C = 0: 0: 1
- incentro = 1: 1: 1
- centroide = bc : ca : ab = 1 / a : 1 / b : 1 / c = csc A : csc B : csc C .
- circuncentro = cos A : cos B : cos C .
- ortocentro = sec A : sec B : sec C .
- centro de nueve puntos = cos ( B - C ): cos ( C - A ): cos ( A - B ).
- punto simediano = un : b : c = sen A : Sin B : Sin C .
- A -excenter = −1: 1: 1
- B -excentro = 1: −1: 1
- C -excenter = 1: 1: −1.
Tenga en cuenta que, en general, el incentro no es lo mismo que el centroide ; el centroide tiene coordenadas baricéntricas 1: 1: 1 (estas son proporcionales a las áreas reales con signo de los triángulos BGC , CGA , AGB , donde G = centroide).
El punto medio de, por ejemplo, el lado BC tiene coordenadas trilineales en las distancias reales de la línea lateral para área triangular , que en distancias relativas especificadas arbitrariamente se simplifica a Las coordenadas en las distancias reales de la línea lateral del pie de la altitud de A a BC son que en distancias puramente relativas se simplifica a [1] : pág. 96
Fórmulas
Colinealidades y concurrencias
Las coordenadas trilineales permiten muchos métodos algebraicos en geometría triangular. Por ejemplo, tres puntos
- P = p : q : r
- U = u : v : w
- X = x : y : z
son colineales si y solo si el determinante
es igual a cero. Por tanto, si x: y: z es un punto variable, la ecuación de una recta que pasa por los puntos P y U es D = 0. [1] : p. 23 A partir de esto, toda línea recta tiene una ecuación lineal homogénea en x, y, z . Toda ecuación de la forma lx + my + nz = 0 en coeficientes reales es una línea recta real de puntos finitos a menos que l: m: n sea proporcional a a: b: c , las longitudes de los lados, en cuyo caso tenemos el lugar geométrico de apunta al infinito. [1] : pág. 40
El dual de esta proposición es que las líneas
- pα + qβ + rγ = 0
- uα + vβ + wγ = 0 ,
- xα + yβ + zγ = 0
concurren en un punto (α, β, γ) si y solo si D = 0. [1] : p. 28
Además, si se utilizan las distancias dirigidas reales al evaluar el determinante de D , entonces el área del triángulo PUX es KD , donde K = abc / 8∆ 2 (y donde ∆ es el área del triángulo ABC , como arriba) si el triángulo PUX tiene la misma orientación (en sentido horario o antihorario) que el triángulo ABC , y K = –abc / 8∆ 2 en caso contrario.
Lineas paralelas
Dos rectas con ecuaciones trilineales y son paralelos si y solo si [1] : p. 98, # xi
donde a, b, c son las longitudes de los lados.
Ángulo entre dos líneas
Las tangentes de los ángulos entre dos rectas con ecuaciones trilineales y están dados por [1] : p.50
Lineas perpendiculares
Por tanto, dos rectas con ecuaciones trilineales y son perpendiculares si y solo si
Altitud
La ecuación de la altitud desde el vértice A hasta el lado BC es [1] : p.98, # x
Línea en términos de distancias desde los vértices
La ecuación de una recta con distancias variables p, q, r desde los vértices A , B , C cuyos lados opuestos son a, b, c es [1] : p. 97, # viii
Coordenadas trilineales de distancia real
Los trilineales con los valores de coordenadas a ', b', c ' son las distancias perpendiculares reales a los lados satisfacen [1] : p. 11
para los lados del triángulo a, b, c y el área. Esto se puede ver en la figura en la parte superior de este artículo, con el punto interior P dividiendo el triángulo ABC en tres triángulos PBC , PCA y PAB con áreas respectivas (1/2) aa ' , (1/2) bb' , y (1/2) cc ' .
Distancia entre dos puntos
La distancia d entre dos puntos con trilineales de distancia real a i : b i : c i viene dada por [1] : p. 46
o de una forma más simétrica
- .
Distancia de un punto a una línea
La distancia d desde un punto a ' : b' : c ' , en coordenadas trilineales de distancias reales, a una línea recta lx + my + nz = 0 es [1] : p. 48
Curvas cuadráticas
La ecuación de una sección cónica en el punto trilineal variable x : y : z es [1] : p.118
No tiene términos lineales ni término constante.
La ecuación de un círculo de radio r que tiene el centro en las coordenadas de la distancia real ( a ', b', c ' ) es [1] : p.287
Circuncónicas
La ecuación en coordenadas trilineales x, y, z de cualquier circuncónica de un triángulo es [1] : p. 192
Si los parámetros l, m, n son respectivamente iguales a las longitudes de los lados a, b, c (o los senos de los ángulos opuestos a ellos), entonces la ecuación da el círculo circunferencial . [1] : pág. 199
Cada circumcónica distinta tiene un centro único en sí mismo. La ecuación en coordenadas trilineales de la circuncónica con centro x ': y': z ' es [1] : p. 203
Incónicos
Cada sección cónica inscrita en un triángulo tiene una ecuación en coordenadas trilineales: [1] : p. 208
siendo exactamente uno o tres de los signos no especificados negativos.
La ecuación del círculo se puede simplificar a [1] : p. 210, pág.214
mientras que la ecuación para, por ejemplo, el círculo adyacente al segmento lateral opuesto al vértice A se puede escribir como [1] : p. 215
Curvas cúbicas
Muchas curvas cúbicas se representan fácilmente mediante coordenadas trilineales. Por ejemplo, el eje cúbico autoisoconjugado Z (U, P) , como el lugar geométrico de un punto X tal que el P -isoconjugado de X está en la línea UX viene dado por la ecuación determinante
Entre las cúbicas denominadas Z (U, P) se encuentran las siguientes:
- Thomson cúbico : Z (X (2), X (1)) , donde X (2) = centroide , X (1) = incentro
- Cúbico de Feuerbach : Z (X (5), X (1)) , donde X (5) = punto de Feuerbach
- Darboux cúbico : Z (X (20), X (1)) , donde X (20) = punto De Longchamps
- Neuberg cubic : Z (X (30), X (1)) , donde X (30) = punto infinito de Euler .
Conversiones
Entre coordenadas trilineales y distancias desde líneas laterales
Para cualquier elección de coordenadas trilineales x: y: z para ubicar un punto, las distancias reales del punto desde las líneas laterales están dadas por a '= kx , b' = ky , c '= kz donde k puede ser determinado por la fórmuladonde a , b , c son las longitudes laterales respectivas BC , CA , AB y ∆ es el área de ABC .
Entre coordenadas baricéntricas y trilineales
Un punto con coordenadas trilineales x : y : z tiene coordenadas baricéntricas ax : by : cz donde a , b , c son las longitudes laterales del triángulo. Por el contrario, un punto con baricéntricos α : β : γ tiene coordenadas trilineales α / a : β / b : γ / c .
Entre coordenadas cartesianas y trilineales
Dado un triángulo de referencia ABC , exprese la posición del vértice B en términos de un par ordenado de coordenadas cartesianas y represéntelo algebraicamente como un vector B , utilizando el vértice C como origen. Definir similar, el vector de posición del vértice A como A . Entonces, cualquier punto P asociado con el triángulo de referencia ABC se puede definir en un sistema cartesiano como un vector P = k 1 A + k 2 B . Si este punto P tiene coordenadas trilineales x: y: z entonces la fórmula de conversión de los coeficientes k 1 y k 2 en la representación cartesiana a las coordenadas trilineales es, para longitudes de lado a , b , c vértices opuestos A , B , C ,
y la fórmula de conversión de las coordenadas trilineales a los coeficientes en la representación cartesiana es
De manera más general, si se elige un origen arbitrario donde las coordenadas cartesianas de los vértices son conocidas y están representadas por los vectores A , B y C y si el punto P tiene coordenadas trilineales x : y : z , entonces las coordenadas cartesianas de P son las promedio ponderado de las coordenadas cartesianas de estos vértices usando las coordenadas baricéntricas ax , por y cz como pesos. Por lo tanto, la fórmula de conversión de las coordenadas trilineales x, y, z al vector de coordenadas cartesianas P del punto está dada por
donde son las longitudes de los lados | C - B | = a , | A - C | = by | B - A | = c .
Ver también
- Teorema del trisector de Morley # Triángulos de Morley , dando ejemplos de numerosos puntos expresados en coordenadas trilineales
- Parcela ternaria
- Teorema de viviani
Referencias
- ^ a b c d e f g h i j k l m n o p q r s William Allen Whitworth (1866) Coordenadas trilineales y otros métodos de geometría analítica de dos dimensiones: un tratado elemental , enlace de Cornell University Historical Math Monographs.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Coordenadas trilineales" . MathWorld .
- Enciclopedia de centros triangulares - ETC por Clark Kimberling; tiene coordenadas trilineales (y baricéntricas) para más de 7000 centros de triángulos