En geometría , el centro de nueve puntos es un centro de triángulo , un punto definido a partir de un triángulo dado de una manera que no depende de la ubicación o escala del triángulo. Se llama así porque es el centro del círculo de nueve puntos , un círculo que pasa por nueve puntos significativos del triángulo: los puntos medios de los tres bordes, los pies de las tres altitudes y los puntos a medio camino entre el ortocentro y el triángulo. cada uno de los tres vértices. El centro de nueve puntos figura como punto X (5) en la Enciclopedia de centros triangulares de Clark Kimberling . [1] [2]
Propiedades
El centro de nueve puntos N se encuentra en la línea de Euler de su triángulo, en el punto medio entre el ortocentro H y el circuncentro O de ese triángulo . El centroide G también se encuentra en la misma línea, 2/3 del camino desde el ortocentro hasta el circuncentro, [2] [3] entonces
Por lo tanto, si se conocen dos de estos cuatro centros triangulares, las posiciones de los otros dos pueden determinarse a partir de ellos.
Andrew Guinand demostró en 1984, como parte de lo que ahora se conoce como el problema de determinación del triángulo de Euler , que si las posiciones de estos centros se dan para un triángulo desconocido, entonces el incentro del triángulo se encuentra dentro del círculo ortocentroidal (el círculo que tiene el segmento desde el centroide al ortocentro como su diámetro). El único punto dentro de este círculo que no puede ser el incentro es el centro de nueve puntos, y todos los demás puntos interiores del círculo son el incentro de un triángulo único. [4] [5] [6] [7]
La distancia desde el centro de nueve puntos hasta el incentro I satisface
donde R y r son la circunferencia circunscrita y inradio respectivamente.
El centro de nueve puntos es el circuncentro del triángulo medial del triángulo dado, el circuncentro del triángulo órtico del triángulo dado y el circuncentro del triángulo de Euler. [3] De manera más general, es el circuncentro de cualquier triángulo definido a partir de tres de los nueve puntos que definen el círculo de nueve puntos.
El centro de nueve puntos se encuentra en el centroide de cuatro puntos: los tres vértices del triángulo y su ortocentro . [8]
Las líneas de Euler de los cuatro triángulos formados por un sistema ortocéntrico (un conjunto de cuatro puntos de manera que cada uno es el ortocentro del triángulo con vértices en los otros tres puntos) son concurrentes en el centro de nueve puntos común a todos los triángulos. [9] : pág . 111
De los nueve puntos que definen el círculo de nueve puntos, los tres puntos medios de los segmentos de línea entre los vértices y el ortocentro son reflejos de los puntos medios del triángulo alrededor de su centro de nueve puntos. Por lo tanto, el centro de nueve puntos forma el centro de una reflexión puntual que mapea el triángulo medial al triángulo de Euler, y viceversa. [3]
Según el teorema de Lester , el centro de nueve puntos se encuentra en un círculo común con otros tres puntos: los dos puntos de Fermat y el circuncentro. [10]
El punto Kosnita de un triángulo, un centro triangular asociado con el teorema de Kosnita , es el conjugado isogonal del centro de nueve puntos. [11]
Coordenadas
Las coordenadas trilineales para el centro de nueve puntos son [1] [2]
Las coordenadas baricéntricas del centro de nueve puntos son [2]
Por lo tanto, si y solo si dos de los ángulos de vértice difieren entre sí en más de 90 °, una de las coordenadas baricéntricas es negativa y, por lo tanto, el centro de nueve puntos está fuera del triángulo.
Referencias
- ^ a b Kimberling, Clark (1994), "Puntos centrales y líneas centrales en el plano de un triángulo", Revista de matemáticas , 67 (3): 163-187, doi : 10.2307 / 2690608 , JSTOR 2690608 , MR 1573021.
- ↑ a b c d Encyclopedia of Triangle Centers , consultado el 23 de octubre de 2014.
- ^ a b c Dekov, Deko (2007), "Centro de nueve puntos" (PDF) , Revista de geometría euclidiana generada por computadora.
- ^ Stern, Joseph (2007), "Problema de determinación del triángulo de Euler" (PDF) , Forum Geometricorum , 7 : 1–9.
- ^ Euler, Leonhard (1767), "Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum" , Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae (en latín), 11 : 103-123.
- ^ Guinand, Andrew P. (1984), "Líneas de Euler, centros tritangentes y sus triángulos", American Mathematical Monthly , 91 (5): 290–300, doi : 10.2307 / 2322671 , JSTOR 2322671.
- ^ Franzsen, William N. "La distancia desde el incentro a la línea de Euler", Forum Geometricorum 11, 2011, 231-236. http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201126index.html
- ↑ The Encyclopedia of Triangle Centers atribuye esta observación a Randy Hutson, 2011.
- ^ Altshiller-Court, Nathan, College Geometry , Dover Publications, 2007 (orig. Barnes & Noble 1952).
- ^ Yiu, Paul (2010), "Los círculos de Lester, Evans, Parry y sus generalizaciones", Forum Geometricorum , 10 : 175-209, MR 2868943.
- ^ Rigby, John (1997), "Notas breves sobre algunos teoremas geométricos olvidados", Mathematics and Informatics Quarterly , 7 : 156-158.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Centro de nueve puntos" . MathWorld .