En geometría , la polaridad trilineal es una cierta correspondencia entre los puntos en el plano de un triángulo que no se encuentran en los lados del triángulo y las líneas en el plano del triángulo que no pasan por los vértices del triángulo. "Aunque se llama polaridad, en realidad no es una polaridad, ya que los polos de líneas concurrentes no son puntos colineales". [1] Fue Poncelet (1788-1867), un ingeniero y matemático francés, quien introdujo la idea del polar trilineal de un punto en 1865. [1] [2]
Definiciones
Sea ABC un triángulo plano y sea P cualquier punto en el plano del triángulo que no se encuentre en los lados del triángulo. Brevemente, el polar trilineal de P es el eje de la perspectividad del triángulo ceviano de P y el triángulo ABC .
En detalle, deje que la línea AP , BP , CP se encuentre con las líneas laterales BC , CA , AB en D , E , F respectivamente. El triángulo DEF es el triángulo ceviano de P con referencia al triángulo ABC . Deje que los pares de línea ( BC , EF ), ( CA , FD ), ( DE , AB ) se crucen en X , Y , Z respectivamente. Según el teorema de Desargues, los puntos X , Y , Z son colineales . La línea de colinealidad es el eje de la perspectividad del triángulo ABC y el triángulo DEF . La línea XYZ es el trilineal polar del punto P . [1]
Los puntos X , Y , Z también se pueden obtener como conjugados armónicos de D , E , F con respecto a los pares de puntos ( B , C ), ( C , A ), ( A , B ) respectivamente. Poncelet utilizó esta idea para definir el concepto de polares trilineales. [1]
Si la recta L es el polo trilineal del punto P con respecto al triángulo de referencia ABC, entonces P se denomina polo trilineal de la recta L con respecto al triángulo de referencia ABC .
Ecuación trilineal
Sean las coordenadas trilineales del punto P ( p : q : r ). Entonces la ecuación trilineal de la polar trilineal de P es [3]
- x / p + y / q + z / r = 0.
Construcción del polo trilineal
Deje que la línea L se encuentre con los lados BC , CA , AB del triángulo ABC en X , Y , Z respectivamente. Deje que los pares de líneas ( BY , CZ ), ( CZ , AX ), ( AX , POR ) se reúnen en U , V , W . Los triángulos ABC y UVW están en perspectiva y dejan que P sea el centro de la perspectiva . P es el polo trilineal de la línea L .
Algunos polares trilineales
Algunos de los polares trilineales son bien conocidos. [4]
- El polar trilineal del centroide del triángulo ABC es la línea en el infinito .
- El polar trilineal del punto simmediano es el eje de Lemoine del triángulo ABC .
- El polar trilineal del ortocentro es el eje órtico .
- Los polares trilineales no se definen para los puntos que coinciden con los vértices del triángulo ABC .
Postes de lápices de líneas
Sea P con coordenadas trilineales ( X : Y : Z ) el polo de una línea que pasa por un punto fijo K con coordenadas trilineales ( x 0 : y 0 : z 0 ). La ecuación de la línea es
- x / X + y / Y + z / Z = 0.
Dado que este pasa por K ,
- x 0 / X + y 0 / Y + z 0 / Z = 0.
Por tanto, el lugar geométrico de P es
- x 0 / x + y 0 / y + z 0 / z = 0.
Este es un circumcónico del triángulo de referencia ABC . Así, el lugar de los polos de un lápiz de líneas que pasa por un punto fijo es una circuncónica del triángulo de referencia.
Referencias
- ↑ a b c d Coxeter, HSM (1993). El plano proyectivo real . Saltador. págs. 102-103. ISBN 9780387978895.
- ^ Coxeter, HSM (2003). Geometría proyectiva . Saltador. pp. 29 . ISBN 9780387406237.
- ^ Weisstein, Eric W. "Trilinear Polar" . MathWorld: un recurso web de Wolfram . Consultado el 31 de julio de 2012 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Polo trilineal" . MathWorld: un recurso web de Wolfram . Consultado el 8 de agosto de 2012 .
enlaces externos
- Página de geometrikon: polares trilineales
- Página de geometrikon: conjugado isotómico de una línea