La regla del producto triple , conocida diversamente como regla de la cadena cíclica , relación cíclica , regla cíclica o regla de la cadena de Euler , es una fórmula que relaciona derivadas parciales de tres variables interdependientes. La regla encuentra aplicación en termodinámica , donde con frecuencia tres variables pueden relacionarse mediante una función de la forma f ( x , y , z ) = 0, por lo que cada variable se da como una función implícita de las otras dos variables. Por ejemplo, una ecuación de estado para un fluido relaciona la temperatura, presión y volumen de esta manera. La regla del producto triple para tales variables interrelacionadas x , y y z proviene de usar una relación de reciprocidad en el resultado del teorema de la función implícita y está dada por
- Nota: En cada factor, la variable del numerador se considera una función implícita de los otros dos. En cada factor, la variable subindicada se mantiene constante.
Aquí los subíndices indican qué variables se mantienen constantes cuando se toma la derivada parcial. Esto es, para calcular de manera explícita la derivada parcial de x con respecto a y con z constante celebrada, uno escribiría x como una función de y y z y tomar la derivada parcial de esta función con respecto a y solamente.
La ventaja de la regla del triple producto es que reordenando los términos, se pueden derivar varias identidades de sustitución que permiten reemplazar derivadas parciales que son difíciles de evaluar analíticamente, medir experimentalmente o integrar con cocientes de derivadas parciales que son más fáciles de trabajar. con. Por ejemplo,
Varias otras formas de la regla están presentes en la literatura; estos pueden derivarse permutando las variables { x , y , z }.
Sigue una derivación informal. Suponga que f ( x , y , z ) = 0. Escriba z como una función de x e y . Por tanto, el diferencial total dz es
Supongamos que nos movemos a lo largo de una curva con dz = 0, donde la curva está parametrizada por x . Por lo tanto, y se puede escribir en términos de x , por lo que en esta curva
Por lo tanto, la ecuación para dz = 0 se convierte en
Dado que esto debe ser cierto para todos los dx , el reordenamiento de los términos da
Dividir por las derivadas en el lado derecho da la regla del triple producto
Tenga en cuenta que esta prueba hace muchos supuestos implícitos con respecto a la existencia de derivadas parciales, la existencia de la diferencial exacta dz , la capacidad de construir una curva en algún vecindario con dz = 0 y el valor distinto de cero de las derivadas parciales y sus recíprocos. Una prueba formal basada en análisis matemático eliminaría estas posibles ambigüedades.
Derivación alternativa
Suponga una función f (x, y, z) = 0 , donde x , y y z son funciones entre sí. Escribe los diferenciales totales de las variables.
Sustituye dy en dx
Al usar la regla de la cadena, se puede mostrar que el coeficiente de dx en el lado derecho es igual a uno, por lo que el coeficiente de dz debe ser cero.
Restar el segundo término y multiplicar por su inverso da la regla del triple producto
El perfil de una onda viajera en el tiempo
t (línea continua) y
t + Δt (línea discontinua). En el intervalo de tiempo
Δt , el punto
p 2 se elevará hasta la misma altura que tenía
p 1 en el tiempo
t .
Una realización geométrica de la regla del producto triple se puede encontrar en sus estrechos vínculos con la velocidad de una onda viajera.
se muestra a la derecha en el momento t (línea azul continua) y poco tiempo después t + Δt (punteado). La onda mantiene su forma a medida que se propaga, de modo que un punto en la posición x en el tiempo t corresponderá a un punto en la posición x + Δx en el tiempo t + Δt ,
Esta ecuación solo se puede satisfacer para todo x y t si kΔx-ωΔt = 0 , lo que da como resultado la fórmula para la velocidad de fase
Para dilucidar la conexión con la regla del producto triple, considere el punto p 1 en el tiempo t y su punto correspondiente (con la misma altura) p̄ 1 en t + Δt . Defina p 2 como el punto en el tiempo t cuya coordenada x coincide con la de p̄ 1 , y defina p̄ 2 como el punto correspondiente de p 2 como se muestra en la figura de la derecha. La distancia Δx entre p 1 y p̄ 1 es la misma que la distancia entre p 2 y p̄ 2 (líneas verdes), y dividiendo esta distancia por Δt se obtiene la velocidad de la onda.
Para calcular Δx , considere las dos derivadas parciales calculadas en p 2 ,
Dividir estas dos derivadas parciales y usar la definición de la pendiente (subida dividida por carrera) nos da la fórmula deseada para
donde el signo negativo explica el hecho de que p 1 se encuentra detrás de p 2 en relación con el movimiento de la onda. Por tanto, la velocidad de la onda viene dada por
Para Δt infinitesimal , y recuperamos la regla del triple producto