En matemáticas , una transformación polinomial consiste en calcular el polinomio cuyas raíces son una función dada de las raíces de un polinomio. Las transformaciones polinomiales como las transformaciones de Tschirnhaus se utilizan a menudo para simplificar la solución de ecuaciones algebraicas .
Ejemplos sencillos
Traduciendo las raíces
Dejar
ser un polinomio, y
ser sus raíces complejas (no necesariamente distintas).
Para cualquier constante c , el polinomio cuyas raíces son
es
Si los coeficientes de P son números enteros y la constantees un número racional , los coeficientes de Q pueden no ser enteros, pero el polinomio c n Q tiene número entero coeficientes y tiene las mismas raíces que Q .
Un caso especial es cuando El polinomio resultante Q no tiene ningún término en y n - 1 .
Recíprocos de las raíces
Dejar
ser un polinomio. El polinomio cuyas raíces son las recíprocas de las raíces de P como raíces es su polinomio recíproco
Escalar las raíces
Dejar
ser un polinomio y c una constante distinta de cero. Un polinomio cuyas raíces son el producto por c de las raíces de P es
El factor c n aparece aquí porque, si c y los coeficientes de P son números enteros o pertenecen a algún dominio de integridad , lo mismo es cierto para los coeficientes de Q .
En el caso especial donde , todos los coeficientes de Q son múltiplos de c , yes un polinomio mónico , cuyos coeficientes pertenecer a cualquier dominio que contiene integral c y los coeficientes de P . Esta transformación polinomial se usa a menudo para reducir preguntas sobre números algebraicos a preguntas sobre números enteros algebraicos .
Combinando esto con una traducción de las raíces por, permite reducir cualquier pregunta sobre las raíces de un polinomio, como la búsqueda de raíces , a una pregunta similar sobre un polinomio más simple, que es mónica y no tiene un término de grado n - 1 . Para ver ejemplos de esto, vea Función cúbica § Reducción a una función cúbica deprimida o Cuartica § Conversión a un cuártico deprimido .
Transformación por función racional
Todos los ejemplos anteriores son transformaciones polinómicas por una función racional , también llamadas transformaciones de Tschirnhaus . Dejar
ser una función racional, donde g y h son polinomios coprimos . La transformación polinomio de un polinomio P por f es el polinomio Q (definido hasta el producto por una constante no cero) cuyas raíces son las imágenes por f de las raíces de P .
Tal transformación polinomial se puede calcular como resultante . De hecho, las raíces del polinomio deseado Q son exactamente los números complejos y de tal manera que hay un número complejo x tal que uno tiene de forma simultánea (si los coeficientes de P , g y h no son números reales o complejos, "número complejo" debe ser reemplazado por "elemento de un campo algebraicamente cerrado que contiene los coeficientes de los polinomios de entrada" )
Esta es exactamente la propiedad definitoria de la resultante
Por lo general, esto es difícil de calcular a mano. Sin embargo, como la mayoría de los sistemas informáticos de álgebra tienen una función incorporada para calcular los resultantes, es sencillo calcularlo con una computadora .
Propiedades
Si el polinomio P es irreducible , entonces el polinomio Q resultante es irreducible o es una potencia de un polinomio irreducible. Dejarser una raíz de P y considerar L , la extensión de campo generada por. El primer caso significa quees un elemento primitivo de L , que tiene Q como polinomio mínimo . En este último caso,pertenece a un subcampo de L y su polinomio mínimo es el polinomio irreducible que tiene Q como potencia.
Transformación para resolución de ecuaciones
Las transformaciones polinomiales se han aplicado a la simplificación de ecuaciones polinómicas para la solución, cuando es posible, por radicales. Descartes introdujo la transformación de un polinomio de grado d que elimina el término de grado d - 1 mediante una traslación de las raíces. Tal polinomio se denomina deprimido . Esto ya es suficiente para resolver la cuadrática por raíces cuadradas. En el caso del cúbico, las transformaciones de Tschirnhaus reemplazan la variable por una función cuadrática, lo que hace posible eliminar dos términos, por lo que se puede utilizar para eliminar el término lineal en un cúbico deprimido para lograr la solución del cúbico mediante una combinación de raíces cuadradas y cúbicas. La transformación Bring-Jerrard, que es cuartica en la variable, lleva una quintica a la forma "principal" o Bring-Jerrard con términos de grado 5,1 y 0.
Referencias
- Adamchik, Victor S .; Jeffrey, David J. (2003). "Transformaciones polinomiales de Tschirnhaus, Bring y Jerrard" (PDF) . Toro SIGSAM . 37 (3): 90–94. Zbl 1055.65063 . Archivado desde el original (PDF) el 26 de febrero de 2009.