En matemáticas , la noción de la continuidad de funciones no es inmediatamente extensible a las asignaciones de valores múltiples o correspondencias entre dos conjuntos A y B . Los conceptos duales de hemicontinuidad superior y hemicontinuidad inferior facilitan tal extensión. Una correspondencia que tiene ambas propiedades se dice que es continua en una analogía con la propiedad del mismo nombre para funciones.
En términos generales, una función es hemicontinua superior cuando (1) una secuencia convergente de puntos en el dominio se asigna a una secuencia de conjuntos en el rango que (2) contiene otra secuencia convergente, entonces la imagen del punto límite en el dominio debe contener el límite de la secuencia en el rango. La hemicontinuidad inferior esencialmente invierte esto, diciendo que si una secuencia en el dominio converge, dado un punto en el rango del límite, entonces puede encontrar una subsecuencia cuya imagen contenga una secuencia convergente al punto dado.
Hemicontinuidad superior
Una correspondencia se dice que es hemicontinuo superior en el punto si por cualquier barrio abierto de existe un barrio de tal que para todos es un subconjunto de
Caracterización secuencial
Para una correspondencia con valores cerrados, si es hemicontinuo superior en luego para todas las secuencias en para todos todas las secuencias tal que
- Si y luego
Si B es compacto, lo contrario también es cierto.
Teorema del gráfico cerrado
El gráfico de una correspondencia es el conjunto definido por
Si es una correspondencia hemicontinua superior con dominio cerrado (es decir, el conjunto de puntos dónde no es el conjunto vacío está cerrado) y valores cerrados (es decir, está cerrado para todos ), luego está cerrado. Sies compacto, entonces lo contrario también es cierto. [1]
Hemicontinuidad inferior
Una correspondencia se dice que es hemicontinuo más bajo en el punto si para cualquier conjunto abierto intersección existe un barrio de tal que se cruza para todos (Aquí se cruza significa intersección no vacía ).
Caracterización secuencial
es hemicontinuo más bajo en si y solo si para cada secuencia en tal que en y todo existe una subsecuencia de y también una secuencia tal que y para cada
Teorema de gráfico abierto
Una correspondencia tener secciones inferiores abiertas si el conjunto está abierto en para cada Si los valores son todos conjuntos abiertos en luego se dice que tiene secciones superiores abiertas .
Si tiene un gráfico abierto luego tiene secciones superior e inferior abiertas y si tiene secciones inferiores abiertas, entonces es hemicontinuo inferior. [2]
El teorema del grafo abierto dice que si es una correspondencia de valores convexos con secciones superiores abiertas, entonces tiene un gráfico abierto en si y solo si es hemicontinuo inferior. [2]
Propiedades
Las operaciones de teoría de conjuntos, algebraicas y topológicas en mapas de valores múltiples (como unión, composición, suma, casco convexo, cierre) generalmente conservan el tipo de continuidad. Pero esto debe tomarse con el debido cuidado ya que, por ejemplo, existe un par de correspondencias hemicontinuas inferiores cuya intersección no es hemicontinua inferior. Esto puede arreglarse fortaleciendo las propiedades de continuidad: si una de esas multifunciones hemicontinuas inferiores tiene un gráfico abierto, entonces su intersección es nuevamente hemicontinua inferior.
Es crucial para el análisis de valores establecidos (en vista de las aplicaciones) la investigación de selecciones de valor único y aproximaciones a mapas de valores múltiples. Normalmente, las correspondencias hemicontinuas inferiores admiten selecciones de un solo valor ( teorema de selección de Michael , teorema de selección continua direccional de Bressan-Colombo, selección de mapas descomponibles de Fryszkowski). Asimismo, los mapas hemicontinuos superiores admiten aproximaciones (por ejemplo, el teorema de Ancel-Granas-Górniewicz-Kryszewski).
Implicaciones para la continuidad
Si una correspondencia es hemicontinua superior y hemicontinua inferior, se dice que es continua. Una función continua es en todos los casos hemicontinua superior e inferior.
Otros conceptos de continuidad
La hemicontinuidad superior e inferior pueden verse como una continuidad habitual:
- es menor [resp. superior] hemicontinuo si y solo si el mapeo es continuo donde el hiperespacio P (B) ha sido dotado con el [resp. superior] topología de Vietoris.
(Para la noción de hiperespacio, compare también el conjunto de potencias y el espacio funcional ).
Utilizando la uniformidad inferior y superior de Hausdorff también podemos definir los denominados mapas semicontinuos superior e inferior en el sentido de Hausdorff (también conocidos como mapas semicontinuos métricamente inferior / superior ).
Ver también
- Inclusión diferencial
- Distancia de Hausdorff
- Función multivalor : generalización de una función que puede producir varias salidas para cada entrada.
- Semicontinuidad
Notas
- ^ Proposición 1.4.8 de Aubin, Jean-Pierre; Frankowska, Hélène (1990). Análisis por valores establecidos . Basilea: Birkhäuser. ISBN 3-7643-3478-9.
- ^ a b Zhou, JX (agosto de 1995). "Sobre la existencia de equilibrio para las economías abstractas" . Revista de Análisis y Aplicaciones Matemáticas . 193 (3): 839–858. doi : 10.1006 / jmaa.1995.1271 .
Referencias
- Aliprantis, Charalambos D .; Frontera, Kim C. (2007). Análisis dimensional infinito: Guía del autoestopista (tercera ed.). Berlín: Springer. ISBN 978-3-540-32696-0.
- Aubin, Jean-Pierre ; Cellina, Arrigo (1984). Inclusiones diferenciales: mapas de valores establecidos y teoría de la viabilidad . Grundl. der Math. Wiss. 264 . Berlín: Springer. ISBN 0-387-13105-1.
- Aubin, Jean-Pierre; Frankowska, Hélène (1990). Análisis por valores establecidos . Basilea: Birkhäuser. ISBN 3-7643-3478-9.
- Deimling, Klaus (1992). Ecuaciones diferenciales multivalor . Walter de Gruyter. ISBN 3-11-013212-5.
- Mas-Colell, Andreu ; Whinston, Michael D .; Green, Jerry R. (1995). Análisis microeconómico . Nueva York: Oxford University Press. págs. 949–951. ISBN 0-19-507340-1.
- Ok, Efe A. (2007). Análisis real con aplicaciones económicas . Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 216–226. ISBN 0-691-11768-3.