En el análisis funcional , una rama de las matemáticas, el teorema de selección de Michael es un teorema de selección que lleva el nombre de Ernest Michael . En su forma más popular, establece lo siguiente: [1]
- Sea X un espacio paracompacto e Y un espacio de Banach .
- Dejar ser un mapa multivalor hemicontinuo inferior con valores cerrados convexos no vacíos .
- Entonces existe una selección continuade F.
- Por el contrario , si cualquier multimapa semicontinuo inferior desde el espacio topológico X a un espacio de Banach, con valores cerrados convexos no vacíos, admite una selección continua , entonces X es paracompacto. Esto proporciona otra caracterización de la paracompactancia .
Ejemplos de
![Kakutani.svg](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/en/thumb/e/eb/Kakutani.svg/150px-Kakutani.svg.png)
Una función que satisface todos los requisitos
La función: , mostrada por el área gris en la figura de la derecha, es una función de múltiples valores del intervalo real [0,1] a sí misma. Satisface todas las condiciones de Michael y, de hecho, tiene una selección continua, por ejemplo: o .
Una función que no satisface la hemicontinuidad inferior.
La función
es una función de valores múltiples desde el intervalo real [0,1] a sí misma. Tiene valores cerrados convexos no vacíos. Sin embargo, no es hemicontinuo inferior a 0,5. De hecho, el teorema de Michael no se aplica y la función no tiene una selección continua: cualquier selección en 0.5 es necesariamente discontinua. [2]
Aplicaciones
El teorema de selección de Michael se puede aplicar para demostrar que la inclusión diferencial
tiene una solución C 1 cuando F es semicontinua inferior y F ( t , x ) es un conjunto cerrado y convexo no vacío para todos ( t , x ). Cuando F tiene un solo valor, este es el teorema clásico de existencia de Peano .
Generalizaciones
Un teorema debido a Deutsch y Kenderov generaliza el teorema de selección de Michel a una equivalencia que relaciona selecciones aproximadas con hemicontinuidad casi inferior , donde se dice que es casi hemicontinuo más bajo si en cada , todos los barrios de existe un barrio de tal que
Precisamente, el teorema de Deutsch-Kenderov establece que si es paracompacto, un espacio vectorial normalizado y es convexo no vacío para cada , luego es casi hemicontinuo más bajo si y solo si tiene selecciones aproximadas continuas, es decir, para cada vecindario de en hay una función continua tal que para cada , . [3]
En una nota, Xu demostró que el teorema de Deutsch-Kenderov también es válido si es un espacio vectorial topológico localmente convexo . [4]
Ver también
- Teorema de selección de Michael de dimensión cero
- Teorema de selección
Referencias
- ^ Michael, Ernest (1956). "Selecciones continuas. I". Annals of Mathematics . Segunda Serie. 63 (2): 361–382. doi : 10.2307 / 1969615 . hdl : 10338.dmlcz / 119700 . JSTOR 1969615 . Señor 0077107 .
- ^ "Verificación de prueba: reducción del teorema de punto fijo de Kakutani al teorema de selección de Brouwer" . Intercambio de pila de matemáticas . Consultado el 29 de octubre de 2019 .
- ^ Deutsch, Frank; Kenderov, Petar (enero de 1983). "Selecciones continuas y selección aproximada para asignaciones de valores establecidos y aplicaciones a proyecciones métricas". Revista SIAM de Análisis Matemático . 14 (1): 185-194. doi : 10.1137 / 0514015 .
- ^ Xu, Yuguang (diciembre de 2001). "Una nota sobre un teorema de selección aproximada continua". Revista de teoría de la aproximación . 113 (2): 324–325. doi : 10.1006 / jath.2001.3622 .
Otras lecturas
- Repovš, Dušan ; Semenov, Pavel V. (2014). "Selecciones continuas de asignaciones multivalor". En Hart, KP; van Mill, J .; Simon, P. (eds.). Progresos recientes en topología general . III . Berlín: Springer. págs. 711–749. arXiv : 1401.2257 . Código bibliográfico : 2014arXiv1401.2257R . ISBN 978-94-6239-023-2.
- Aubin, Jean-Pierre; Cellina, Arrigo (1984). Inclusiones diferenciales, mapas de valores establecidos y teoría de la viabilidad . Grundl. der Math. Wiss. 264 . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13105-1.
- Aubin, Jean-Pierre; Frankowska, H. (1990). Análisis por valores establecidos . Basilea: Birkhäuser. ISBN 3-7643-3478-9.
- Deimling, Klaus (1992). Ecuaciones diferenciales multivalor . Walter de Gruyter. ISBN 3-11-013212-5.
- Repovš, Dušan ; Semenov, Pavel V. (1998). Selecciones continuas de asignaciones multivalor . Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-5277-7.
- Repovš, Dušan ; Semenov, Pavel V. (2008). "Ernest Michael y la teoría de las selecciones continuas". Topología y sus aplicaciones . 155 (8): 755–763. arXiv : 0803.4473 . doi : 10.1016 / j.topol.2006.06.011 .
- Aliprantis, Charalambos D .; Frontera, Kim C. (2007). Análisis dimensional infinito: Guía del autoestopista (3ª ed.). Saltador. ISBN 978-3-540-32696-0.
- Hu, S .; Papageorgiou, N. Manual de análisis multivalor . Vol. I. Kluwer. ISBN 0-7923-4682-3.
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