Una función de elección ( selector , selección ) es una función matemática f que se define en alguna colección X de no vacíos conjuntos y asigna a cada conjunto S en esa colección algún elemento f ( S ) de S . En otras palabras, f es una función de elección para la X si y sólo si pertenece al producto directo de X .
Un ejemplo
Sea X = {{1,4,7}, {9}, {2,7}}. A continuación, la función que asigna a 7 el conjunto {1,4,7}, 9 a {9}, y de 2 a {2,7} es una función de elección en X .
Historia e importancia
Ernst Zermelo (1904) introdujo las funciones de elección, así como el axioma de elección (AC) y demostró el teorema del buen orden , [1] que establece que todo conjunto puede estar bien ordenado . AC establece que cada conjunto de conjuntos no vacíos tiene una función de elección. Una forma más débil de AC, el axioma de elección contable (AC ω ) establece que todo conjunto contable de conjuntos no vacíos tiene una función de elección. Sin embargo, en ausencia de AC o AC ω , todavía se puede demostrar que algunos conjuntos tienen una función de elección.
- Si es un conjunto finito de conjuntos no vacíos, entonces se puede construir una función de elección para eligiendo un elemento de cada miembro de Esto requiere solo un número finito de opciones, por lo que no se necesita CA o CA ω .
- Si cada miembro de es un conjunto no vacío, y la unión está bien ordenado, entonces uno puede elegir el menor elemento de cada miembro de . En este caso, fue posible simultáneamente ordenar bien a cada miembro deal hacer una sola elección de un orden correcto de la unión, por lo que no se necesitaba ni AC ni AC ω . (Este ejemplo muestra que el teorema del buen orden implica AC. Lo contrario también es cierto, pero menos trivial).
Función de elección de un mapa multivalor
Dados dos conjuntos X e Y , sea F un mapa de valores múltiples de X e Y (de manera equivalente,es una función de X al conjunto de potencias de Y ).
Una función se dice que es una selección de F , si:
La existencia de funciones de elección más regulares, es decir, selecciones continuas o mensurables, es importante en la teoría de inclusiones diferenciales , control óptimo y economía matemática . [2] Consulte el teorema de selección .
Función Bourbaki tau
Nicolas Bourbaki usó el cálculo épsilon para sus fundamentos que tenían unsímbolo que podría interpretarse como la elección de un objeto (si existiera) que satisface una proposición dada. Así que si es un predicado, entonces es un objeto particular que satisface (si existe, de lo contrario devuelve un objeto arbitrario). Por tanto, podemos obtener cuantificadores de la función de elección, por ejemplo era equivalente a . [3]
Sin embargo, el operador de elección de Bourbaki es más fuerte de lo habitual: es un operador de elección global . Es decir, implica el axioma de la elección global . [4] Hilbert se dio cuenta de esto cuando introdujo el cálculo épsilon. [5]
Ver también
Notas
- ^ Zermelo, Ernst (1904). "Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann" . Mathematische Annalen . 59 (4): 514–16. doi : 10.1007 / BF01445300 .
- ^ Frontera, Kim C. (1989). Teoremas de punto fijo con aplicaciones a la economía y la teoría de juegos . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-26564-9.
- ^ Bourbaki, Nicolas. Elementos de las matemáticas: teoría de conjuntos . ISBN 0-201-00634-0.
- ^ John Harrison, "La vista de Bourbaki" eprint .
- ^ "Aquí, además, nos encontramos con una circunstancia muy notable, a saber, que todos estos axiomas transfinitos son derivables de un solo axioma, uno que también contiene el núcleo de uno de los axiomas más atacados en la literatura de las matemáticas, a saber, el axioma de elección:, dónde es la función de elección lógica transfinita. "Hilbert (1925)," On the Infinite ", extraído de Jean van Heijenoort, From Frege to Gödel , p. 382. De nCatLab .
Referencias
Este artículo incorpora material de la función Choice en PlanetMath , que tiene la licencia Creative Commons Attribution / Share-Alike License .