En matemáticas , la condición de convergencia de Courant-Friedrichs-Lewy es una condición necesaria para la convergencia al resolver ciertas ecuaciones diferenciales parciales (generalmente PDE hiperbólicas ) numéricamente. Surge en el análisis numérico de esquemas explícitos de integración temporal , cuando estos se utilizan para la solución numérica. Como consecuencia, el paso de tiempo debe ser menor que un cierto tiempo en muchas simulaciones explícitas por computadora de marchas en el tiempo ; de lo contrario, la simulación produce resultados incorrectos. La condición lleva el nombre de Richard Courant , Kurt Friedrichs y Hans Lewy.quien lo describió en su artículo de 1928. [1]
Descripción heurística
El principio detrás de la condición es que, por ejemplo, si una onda se mueve a través de una cuadrícula espacial discreta y queremos calcular su amplitud en pasos de tiempo discretos de igual duración, [2] entonces esta duración debe ser menor que el tiempo para el onda para viajar a puntos de cuadrícula adyacentes. Como corolario, cuando se reduce la separación de puntos de la cuadrícula, el límite superior para el paso de tiempo también disminuye. En esencia, el dominio numérico de dependencia de cualquier punto en el espacio y el tiempo (según lo determinado por las condiciones iniciales y los parámetros del esquema de aproximación) debe incluir el dominio analítico de dependencia (en el que las condiciones iniciales tienen un efecto sobre el valor exacto del esquema de aproximación). solución en ese punto) para asegurar que el esquema pueda acceder a la información requerida para formar la solución.
Declaración
Para hacer una declaración razonablemente formalmente precisa de la condición, es necesario definir las siguientes cantidades:
- Coordenada espacial : una de las coordenadas del espacio físico en el que se plantea el problema
- Dimensión espacial del problema : el númerode dimensiones espaciales , es decir, el número de coordenadas espaciales del espacio físico donde se plantea el problema. Los valores típicos son, y .
- Tiempo : la coordenada , que actúa como parámetro , que describe la evolución del sistema, distinta de las coordenadas espaciales.
Las coordenadas espaciales y el tiempo son variables independientes de valor discreto , que se colocan a distancias regulares denominadas longitud del intervalo [3] y paso de tiempo , respectivamente. Usando estos nombres, la condición CFL relaciona la duración del paso de tiempo con una función de las longitudes de intervalo de cada coordenada espacial y de la velocidad máxima a la que la información puede viajar en el espacio físico.
Operativamente, la condición CFL se prescribe comúnmente para aquellos términos de la aproximación en diferencias finitas de ecuaciones diferenciales parciales generales que modelan el fenómeno de advección . [4]
El caso unidimensional
Para el caso unidimensional, la ecuación del modelo de tiempo continuo (que generalmente se resuelve para ) es:
La condición CFL entonces tiene la siguiente forma:
donde el número adimensional se llama el número Courant ,
- es la magnitud de la velocidad (cuya dimensión es longitud / tiempo)
- es el paso de tiempo (cuya dimensión es el tiempo)
- es el intervalo de longitud (cuya dimensión es la longitud).
El valor de cambia con el método utilizado para resolver la ecuación discretizada, especialmente dependiendo de si el método es explícito o implícito . Si se utiliza un solucionador explícito (que marche en el tiempo), normalmente. Los solucionadores implícitos (matriciales) suelen ser menos sensibles a la inestabilidad numérica y, por lo tanto, valores mayores de puede ser tolerado.
El caso bidimensional y n general
En el caso bidimensional , la condición CFL se convierte en
con los significados obvios de los símbolos involucrados. Por analogía con el caso bidimensional, la condición general de CFL para el-El caso dimensional es el siguiente:
No se requiere que la longitud del intervalo sea la misma para cada variable espacial . Este " grado de libertad " se puede utilizar para optimizar un poco el valor del paso de tiempo para un problema particular, variando los valores de los diferentes intervalos para que no sean demasiado pequeños.
Notas
- ^ Véase la referencia Courant, Friedrichs & Lewy 1928 . También existe una traducción al inglés deloriginal alemán de 1928: véanse las referencias Courant, Friedrichs & Lewy 1956 y Courant, Friedrichs & Lewy 1967 .
- ^ Esta situación ocurre comúnmente cuando un operador diferencial parcial hiperbólico se ha aproximado mediante una ecuación en diferencias finitas , que luego se resuelve mediantemétodos de álgebra lineal numérica .
- ^ Esta cantidad no es necesariamente la misma para cada variable espacial, como se muestra en lasección" El caso de dos y n- dimensiones generales " de esta entrada: se puede seleccionar para relajar un poco la condición.
- ^ Precisamente, esta es la parte hiperbólica del PDE bajo análisis.
Referencias
- Courant, R .; Friedrichs, K .; Lewy, H. (1928), "Über die partiellen Differenzengleichungen der Mathischen Physik" , Mathematische Annalen (en alemán), 100 (1): 32–74, Bibcode : 1928MatAn.100 ... 32C , doi : 10.1007 / BF01448839 , JFM 54.0486.01 , MR 1512478.
- Courant, R .; Friedrichs, K .; Lewy, H. (septiembre de 1956) [1928], Sobre las ecuaciones en diferencias parciales de la física matemática , Informe de Investigación y Desarrollo de AEC, NYO-7689, Nueva York: Centro de Computación y Matemáticas Aplicadas de AEC - Instituto Courant de Ciencias Matemáticas , págs. V + 76, archivado desde el original el 23 de octubre de 2008.: traducido del alemán por Phyllis Fox. Ésta es una versión anterior del artículo Courant, Friedrichs & Lewy 1967 , que circuló como informe de investigación.
- Courant, R .; Friedrichs, K .; Lewy, H. (marzo de 1967) [1928], "Sobre las ecuaciones en diferencias parciales de la física matemática" , IBM Journal of Research and Development , 11 (2): 215-234, Bibcode : 1967IBMJ ... 11..215C , doi : 10.1147 / rd.112.0215 , MR 0.213.764 , Zbl 0.145,40402. Puede encontrar una copia descargable gratuitamente aquí .
- Carlos A. de Moura y Carlos S. Kubrusly (Eds.): "The Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) Condition: 80 Years After Its Discovery", Birkhauser, ISBN 978-0-8176-8393-1 (2013).
enlaces externos
- Bakhvalov, NS (2001) [1994], "Condición de Courant-Friedrichs-Lewy" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Weisstein, Eric W. "Condición de Courant-Friedrichs-Lewy" . MathWorld .