Numéricos validados , o cálculo riguroso , cálculo verificada , cálculo fiable , de verificación numérica ( alemán : Zuverlässiges Rechnen ) se numéricos incluyendo el error matemático estricto (redondeando error, el error de truncamiento, error de discretización) de evaluación, y es un campo de análisis numérico . Para el cálculo, se utiliza la aritmética de intervalos y todos los resultados se representan mediante intervalos. Warwick Tucker utilizó números validados para resolver el decimocuarto de los problemas de Smale , [1]y hoy es reconocida como una poderosa herramienta para el estudio de sistemas dinámicos . [2]
Importancia
La computación sin verificación puede causar resultados desafortunados. A continuación se muestran algunos ejemplos.
El ejemplo de Rump
En la década de 1980, Rump dio un ejemplo. [3] [4] Hizo una función complicada e intentó obtener su valor. Los resultados de precisión simple, precisión doble y precisión extendida parecían ser correctos, pero su signo más-menos era diferente del valor real.
Solución fantasma
Breuer – Plum – McKenna utilizó el método del espectro para resolver el problema del valor de frontera de la ecuación de Emden e informó que se obtuvo una solución asimétrica. [5] Este resultado del estudio contradecía el estudio teórico de Gidas-Ni-Nirenberg que afirmaba que no existe una solución asimétrica. [6] La solución obtenida por Breuer – Plum – McKenna fue una solución fantasma causada por un error de discretización. Este es un caso raro, pero nos dice que cuando queremos discutir estrictamente ecuaciones diferenciales, se deben verificar las soluciones numéricas.
Accidentes provocados por errores numéricos
Los siguientes ejemplos se conocen como accidentes causados por errores numéricos:
Temas principales
El estudio de las numéricas validadas se divide en los siguientes campos:
- Verificación en álgebra lineal numérica
- Verificación de funciones especiales :
- Verificación de cuadratura numérica [31] [32] [33]
- Verificación de ecuaciones no lineales (se estudian el teorema de Kantorovich , [34] método de Krawczyk, método de intervalo de Newton y el método de Durand-Kerner-Aberth).
- Verificación de soluciones de EDO, PDE [35] (Para PDE, se utilizan conocimientos de análisis funcional . [34] )
- Verificación de la programación lineal [36]
- Verificación de geometría computacional
- Verificación en un entorno informático de alto rendimiento
Herramientas
- Biblioteca INTLAB hecha por MATLAB / GNU Octave
- kv Librería creada por C ++ . Esta biblioteca puede obtener múltiples salidas de precisión utilizando GNU MPFR .
- kv en GitHub
- Arb Biblioteca hecha por C . Es capaz de calcular rigurosamente varias funciones especiales .
- arb en GitHub
- CAPD Una colección de módulos C ++ flexibles que están diseñados principalmente para el cálculo de homología de conjuntos, mapas y valores numéricos validados para sistemas dinámicos .
- JuliaIntervals en GitHub (Biblioteca creada por Julia )
Ver también
- Prueba asistida por computadora
- Aritmética de intervalos
- Aritmética afín
- INTLAB (Laboratorio de intervalos)
- Diferenciación automática
- wikilibros: cálculos numéricos y matemáticas rigurosas
- Teorema de kantorovich
- Teorema del círculo de Gershgorin
- Ulrich W. Kulisch
Referencias
- ^ Tucker, Warwick . (1999). "El atractor de Lorenz existe". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences-Series I-Mathematics , 328 (12), 1197–1202.
- ↑ Zin Arai, Hiroshi Kokubu, Paweãl Pilarczyk. Desarrollo reciente en métodos computacionales rigurosos en sistemas dinámicos .
- ^ Grupa, Siegfried M. (1988). "Algoritmos para inclusiones verificadas: teoría y práctica". En Confiabilidad en la informática (págs. 109-126). Prensa académica.
- ^ Loh, Eugene; Walster, G. William (2002). El ejemplo de Rump revisado. Computación confiable, 8 (3), 245-248.
- ↑ Breuer, B .; Ciruela, Michael; McKenna, Patrick J. (2001). "Inclusiones y pruebas de existencia para soluciones de un problema de valor límite no lineal mediante métodos numéricos espectrales". En Temas de análisis numérico (págs. 61–77). Springer, Viena.
- ^ Gidas, B .; Ni, Wei-Ming; Nirenberg, Louis (1979). "Simetría y propiedades relacionadas a través del principio máximo". Comunicaciones en física matemática , 68 (3), 209–243.
- ^ http://www-users.math.umn.edu/~arnold//disasters/patriot.html
- ^ Fallo del vuelo 501 de ARIANE 5, http://sunnyday.mit.edu/nasa-class/Ariane5-report.html
- ^ El error de redondeo cambia la composición del Parlamento
- ^ Yamamoto, T. (1984). Límites de error para soluciones aproximadas de sistemas de ecuaciones. Revista japonesa de matemáticas aplicadas, 1 (1), 157.
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- ^ a b Eberhard Zeidler , Análisis funcional no lineal y sus aplicaciones IV. Springer Science & Business Media .
- ^ Mitsuhiro T. Nakao, Michael Plum, Yoshitaka Watanabe (2019) Métodos de verificación numérica y pruebas asistidas por computadora para ecuaciones diferenciales parciales (serie Springer en matemáticas computacionales).
- ^ Oishi, Shin'ichi; Tanabe, Kunio (2009). Inclusión numérica de punto óptimo para programación lineal. Cartas JSIAM, 1, 5-8.
Otras lecturas
- Tucker, Warwick (2011). Numéricos validados: una breve introducción a cálculos rigurosos. Prensa de la Universidad de Princeton .
- Moore, Ramon Edgar , Kearfott, R. Baker., Cloud, Michael J. (2009). Introducción al análisis de intervalos. Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas .
- Grupa, Siegfried M. (2010). Métodos de verificación: resultados rigurosos utilizando aritmética de punto flotante. Acta Numerica , 19, 287-449.
enlaces externos
- Numéricos validados para peatones
- Computación confiable , una revista electrónica abierta dedicada a cálculos numéricos con precisión garantizada, límites de rangos, pruebas matemáticas basadas en aritmética de punto flotante y otras teorías y aplicaciones de aritmética de intervalos y redondeo dirigido.