Una singularidad de Van Hove es una singularidad (punto no liso) en la densidad de estados (DOS) de un sólido cristalino . Los vectores de onda en los que se producen las singularidades de Van Hove a menudo se denominan puntos críticos de la zona de Brillouin . Para los cristales tridimensionales, toman la forma de torceduras (donde la densidad de estados no es diferenciable ). La aplicación más común del concepto de singularidad de Van Hove se produce en el análisis de los espectros de absorción óptica . La ocurrencia de tales singularidades fue analizada por primera vez por el físico belga Léon Van Hoveen 1953 para el caso de las densidades de fonones de los estados. [1]
Teoría
Considere una red unidimensional de N sitios de partículas, con cada sitio de partículas separado por una distancia a , para una longitud total de L = Na . En lugar de asumir que las ondas en esta caja unidimensional son ondas estacionarias, es más conveniente adoptar condiciones de contorno periódicas: [2]
dónde es la longitud de onda y n es un número entero. (Los enteros positivos denotarán ondas directas, los enteros negativos denotarán ondas inversas). La longitud de onda más corta necesaria para describir un movimiento de onda en la red es igual a 2a, que luego corresponde al número de onda más grande necesario y que también corresponde al máximo posible | n |: . Podemos definir la densidad de estados g (k) dk como el número de ondas estacionarias con vector de onda k a k + dk : [3]
Extendiendo el análisis a los vectores de onda en tres dimensiones, la densidad de estados en un cuadro será
dónde es un elemento de volumen en el espacio k , y que, para los electrones, deberá multiplicarse por un factor de 2 para tener en cuenta las dos posibles orientaciones de espín . Por la regla de la cadena , el DOS en el espacio energético se puede expresar como
dónde es el gradiente en el espacio k.
El conjunto de puntos en el espacio k que corresponden a una energía particular E forman una superficie en el espacio k , y el gradiente de E será un vector perpendicular a esta superficie en cada punto. [4] La densidad de estados en función de esta energía E satisface:
donde la integral está sobre la superficie de la constante E . Podemos elegir un nuevo sistema de coordenadas tal que es perpendicular a la superficie y, por tanto, paralela a la pendiente de E . Si el sistema de coordenadas es solo una rotación del sistema de coordenadas original, entonces el elemento de volumen en el espacio k-prime será
Entonces podemos escribir dE como:
y, sustituyendo en la expresión de g (E) tenemos:
donde el término es un elemento de área en la superficie E constante . La clara implicación de la ecuación para es que en el -puntos donde la relación de dispersión tiene un extremo, el integrando en la expresión DOS diverge. Las singularidades de Van Hove son las características que ocurren en la función DOS en estos-puntos.
Un análisis detallado [5] muestra que hay cuatro tipos de singularidades de Van Hove en el espacio tridimensional, dependiendo de si la estructura de la banda pasa por un máximo local , un mínimo local o un punto silla . En tres dimensiones, el DOS en sí no es divergente, aunque su derivada sí lo es. La función g (E) tiende a tener singularidades de raíz cuadrada (ver la Figura) ya que para una superficie de Fermi de gas de electrones libres esféricos
- así que eso .
En dos dimensiones, el DOS es logarítmicamente divergente en un punto de silla y en una dimensión, el DOS en sí es infinito donde es cero.
Observación experimental
El espectro de absorción óptica de un sólido se calcula de manera más sencilla a partir de la estructura de la banda electrónica utilizando la regla de oro de Fermi, donde el elemento de matriz relevante a evaluar es el operador dipolo. dónde es el vector potencial yes el operador de impulso . La densidad de estados que aparece en la expresión de la regla de oro de Fermi es entonces la densidad conjunta de estados , que es el número de estados electrónicos en las bandas de conducción y valencia que están separados por una energía fotónica determinada. La absorción óptica es entonces esencialmente el producto del elemento de matriz del operador dipolo (también conocido como la fuerza del oscilador ) y el JDOS.
Se podría esperar que las divergencias en el DOS bidimensional y unidimensional fueran una formalidad matemática, pero de hecho son fácilmente observables. Los sólidos altamente anisotrópicos como el grafito (cuasi-2D) y las sales de Bechgaard (cuasi-1D) muestran anomalías en las mediciones espectroscópicas que son atribuibles a las singularidades de Van Hove. Las singularidades de Van Hove juegan un papel importante en la comprensión de las intensidades ópticas en los nanotubos de carbono de pared simple (SWNT), que también son sistemas cuasi-1D. El punto de Dirac en el grafeno es una singularidad de Van-Hove que se puede ver directamente como un pico en la resistencia eléctrica, cuando el grafeno es de carga neutra. Las capas de grafeno retorcidas también muestran singularidades de Van-Hove pronunciadas en el DOS debido al acoplamiento entre capas. [6]
Notas
- ^ Van Hove, Léon (15 de marzo de 1953). "La aparición de singularidades en la distribución de frecuencia elástica de un cristal". Revisión física . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 89 (6): 1189-1193. doi : 10.1103 / physrev.89.1189 . ISSN 0031-899X .
- ^ Ver ecuación 2.9 en http://www2.physics.ox.ac.uk/sites/default/files/BandMT_02.pdf De tenemos
- ^ * MA Parker (1997-2004) "Introducción a la densidad de estados" Marcel-Dekker Publishing p.7. Archivado el 8 de septiembre de 2006 en la Wayback Machine.
- ^ * Ziman, John (1972). Principios de la teoría de los sólidos . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN B0000EG9UB.
- ^ * Bassani, F .; Pastori Parravicini, G. (1975). Estados electrónicos y transiciones ópticas en sólidos . Pergamon Press. ISBN 978-0-08-016846-3.Este libro contiene una discusión extensa de los tipos de singularidades de Van Hove en diferentes dimensiones e ilustra los conceptos con comparaciones teóricas y experimentales detalladas para Ge y grafito .
- ^ Brihuega, I .; Mallet, P .; González-Herrero, H .; Trambly de Laissardière, G .; Ugeda, MM; Magaud, L .; Gómez-Rodríguez, JM; Ynduráin, F .; Veuillen, J.-Y. (8 de noviembre de 2012). "Desentrañar la naturaleza intrínseca y robusta de las singularidades de van Hove en grafeno bicapa trenzado mediante microscopía de túnel de barrido y análisis teórico". Cartas de revisión física . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 109 (19): 196802. doi : 10.1103 / physrevlett.109.196802 . hdl : 10486/668230 . ISSN 0031-9007 . PMID 23215414 .