estructura hodge

En matemáticas, una estructura de Hodge , llamada así por WVD Hodge , es una estructura algebraica a nivel de álgebra lineal , similar a la que la teoría de Hodge otorga a los grupos de cohomología de una variedad de Kähler suave y compacta . Las estructuras de Hodge se han generalizado para todas las variedades complejas (incluso si son singulares e incompletas ) en forma de estructuras de Hodge mixtas , definidas por Pierre Deligne (1970). Una variación de la estructura de Hodge es una familia de estructuras de Hodge parametrizadas por una variedad, estudiada por primera vez por Phillip Griffiths .(1968). Morihiko Saito (1989) generalizó aún más todos estos conceptos a módulos mixtos de Hodge sobre variedades complejas.

Una estructura de Hodge pura de peso entero n consiste en un grupo abeliano y una descomposición de su complejificación H en una suma directa de subespacios complejos , donde , con la propiedad de que el complejo conjugado de es : $H_{\mathbb{Z} }$ $H^{p,q}$ ${\ estilo de visualización p + q = n}$ $H^{p,q}$ ${\ estilo de visualización H ^ {q, p}}$

Se obtiene una definición equivalente reemplazando la descomposición de la suma directa de H por la filtración de Hodge , una filtración decreciente finita de H por subespacios complejos sujetos a la condición $F^{p}H(p\in \mathbb {Z} ),$

Por ejemplo, si X es una variedad compacta de Kähler , es el n -ésimo grupo de cohomología de X con coeficientes enteros, entonces es su n -ésimo grupo de cohomología con coeficientes complejos y la teoría de Hodge proporciona la descomposición de H en una suma directa como la anterior, de modo que estos datos definen una estructura de Hodge pura de peso n . Por otro lado, la secuencia espectral de Hodge-de Rham proporciona la filtración decreciente por como en la segunda definición. ^[1] $H_{\mathbb {Z} }=H^{n}(X,\mathbb {Z} )$ $H=H^{n}(X,\mathbb {C} )$ ${\ estilo de visualización H ^ {n}}$ ${\ estilo de visualización F ^ {p} H}$