En matemáticas, la secuencia espectral de Hodge – de Rham (nombrada en honor a WVD Hodge y Georges de Rham ) es un término alternativo que se usa a veces para describir la secuencia espectral de Frölicher (nombrada así por Alfred Frölicher , quien realmente la descubrió). Esta secuencia espectral describe la relación precisa entre la cohomología de Dolbeault y la cohomología de De Rham de una variedad compleja general . En una variedad compacta de Kähler, la secuencia degenera, lo que conduce a la descomposición de Hodge de la cohomología de Rham .
Descripción de la secuencia espectral
La secuencia espectral es la siguiente:
donde X es una variedad compleja , es su cohomología con coeficientes complejos y el término de la izquierda, que es el -página de la secuencia espectral, es la cohomología con valores en el haz de formas diferenciales holomorfas . La existencia de la secuencia espectral como se indicó anteriormente se deriva del lema de Poincaré , que da un cuasi-isomorfismo de complejos de haces
junto con la secuencia espectral habitual resultante de un objeto filtrado, en este caso la filtración de Hodge
de .
Degeneración
El teorema central relacionado con esta secuencia espectral es que para una variedad X compacta de Kähler , por ejemplo una variedad proyectiva , la secuencia espectral anterior degenera en el-página. En particular, da un isomorfismo denominado descomposición de Hodge.
La degeneración de la secuencia espectral se puede mostrar usando la teoría de Hodge . [1] [2] Una extensión de esta degeneración en una situación relativa, para un mapa suave adecuado, también fue mostrado por Deligne. [3]
Prueba puramente algebraica
Para obtener variedades adecuadas y uniformes sobre un campo de característica 0, la secuencia espectral también se puede escribir como
dónde denota el haz de formas diferenciales algebraicas (también conocidas como diferenciales de Kähler ) en X ,es el (algebraico) complejo de Rham , que consiste en elsiendo el diferencial la derivada exterior . De esta forma, todos los términos de la secuencia espectral son de naturaleza puramente algebraica (en oposición a analítica). En particular, la cuestión de la degeneración de esta secuencia espectral tiene sentido para las variedades sobre un campo de característica p > 0.
Deligne & Illusie (1987) demostraron que para X sobre un campo perfecto de característica positiva, la secuencia espectral degenera, siempre que X admita una elevación a un esquema (suave propiamente dicho) sobre el anillo de vectores de Witt W 2 ( k ) de longitud dos (por ejemplo, para k = F p , este anillo sería Z / p 2 ). Su prueba utiliza el operador de Cartier , que solo existe en característica positiva. Este resultado de degeneración en la característica p > 0 se puede utilizar para probar también la degeneración de la secuencia espectral para X sobre un campo de característica 0.
Versión no conmutativa
El complejo de Rham y también la cohomología de De Rham de una variedad admiten generalizaciones a la geometría no conmutativa. Esta configuración más general estudia las categorías dg . A una categoría dg, se puede asociar su homología Hochschild , y también su homología cíclica periódica . Cuando se aplican a la categoría de complejos perfectos en una variedad X suave y propia , estos invariantes devuelven formas diferenciales, respectivamente, la cohomología de X de Rham . Kontsevich y Soibelman conjeturaron en 2009 que para cualquier categoría de dg C suave y adecuada sobre un campo de característica 0, la secuencia espectral de Hodge-de Rham que comienza con la homología de Hochschild y linda con la homología cíclica periódica, degenera:
Esta conjetura fue probada por Kaledin (2008) y Kaledin (2016) adaptando la idea anterior de Deligne e Illusie a la generalidad de categorías dg suaves y adecuadas. Mathew (2017) ha dado una prueba de esta degeneración utilizando la homología topológica de Hochschild .
Ver también
- Secuencia espectral de Frölicher
- Teoría de Hodge
- Ideal jacobiano : útil para calcular la cohomología de la descomposición de Hodge
Referencias
- Frölicher, Alfred (1955), "Relations between the cohomology groups of Dolbeault and topological invariants", Proceedings of the National Academy of Sciences , 41 : 641–644, doi : 10.1073 / pnas.41.9.641 , JSTOR 89147 , MR 0073262 , PMC 528153 , PMID 16589720
- Deligne, Pierre ; Illusie, Luc (1987), "Relèvements modulo p 2 et décomposition du complexe de de Rham", Invent. Matemáticas. , 89 (89): 247–270, Bibcode : 1987InMat..89..247D , doi : 10.1007 / bf01389078
- Kaledin, D. (2008), "Degeneración no conmutativa Hodge-to-de Rham mediante el método de Deligne-Illusie", Pure and Applied Mathematics Quarterly , 4 (3): 785–876, arXiv : math / 0611623 , doi : 10.4310 / PAMQ.2008.v4.n3.a8 , MR 2435845
- Kaledin, Dmitry (2016), Secuencias espectrales para homología cíclica , arXiv : 1601.00637 , Bibcode : 2016arXiv160100637K
- Mathew, Akhil (2017), teorema de degeneración de Kaledin y homología topológica de Hochschild , arXiv : 1710.09045 , Bibcode : 2017arXiv171009045M
- ^ Ver, por ejemplo, Griffiths, Harris Principles of algebraic geometry
- ^ Deligne, P. (1968). "Théorème de Lefschetz et Critères de Dégénérescence de Suites Spectrales" . Publicaciones Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques (en francés). 35 (1): 107–126. doi : 10.1007 / BF02698925 . ISSN 0073-8301 .
- ^ Deligne, Pierre (1968), "Théorème de Lefschetz et Critères de Dégénérescence de Suites Spectrales" , Publ. Matemáticas. IHES , 35 (35): 259–278