En matemáticas , una matriz de unos o una matriz de todos es una matriz en la que cada elemento es igual a uno . [1] A continuación se ofrecen ejemplos de notación estándar:
Algunas fuentes llaman a la matriz de todos unos la matriz unitaria , [2] pero ese término también puede referirse a la matriz de identidad , una matriz diferente.
Un vector de unos o de todos unos es una matriz de unos que tienen forma de fila o columna .
Propiedades
Para una matriz n × n de unos J , se cumplen las siguientes propiedades:
- La traza de J es igual a n , [3] y el determinante es igual a 0 para n ≥ 2, pero es igual a 1 si n = 1 (o si n = 0 si queremos considerar la matriz cuadrada vacía , que es una matriz de todos unos ).
- El polinomio característico de J es.
- El rango de J es 1 y los valores propios son n con multiplicidad 1 y 0 con multiplicidad n - 1 . [4]
- por [5]
- J es el elemento neutral del producto Hadamard . [6]
Cuando se considera J como una matriz sobre los números reales , se mantienen las siguientes propiedades adicionales:
- J es matriz semidefinida positiva .
- La matriz es idempotente . [5]
- La matriz exponencial de J es
Aplicaciones
La matriz de todos unos surge en el campo matemático de la combinatoria , en particular que involucra la aplicación de métodos algebraicos a la teoría de grafos . Por ejemplo, si A es la matriz de adyacencia de un gráfico G no dirigido de n - vértices , y J es la matriz de todos unos de la misma dimensión, entonces G es un gráfico regular si y solo si AJ = JA . [7] Como segundo ejemplo, la matriz aparece en algunas pruebas algebraicas lineales de la fórmula de Cayley , que da el número de árboles de expansión de un gráfico completo , utilizando el teorema del árbol de la matriz .
Ver también
- Matriz cero , una matriz donde todos los elementos son cero
- Matriz de entrada única
Referencias
- ↑ Horn, Roger A .; Johnson, Charles R. (2012), "0.2.8 La matriz y el vector de todos unos", Análisis de matrices , Cambridge University Press, p. 8, ISBN 9780521839402.
- ^ Weisstein, Eric W. "Unidad de matriz" . MathWorld .
- ^ Stanley, Richard P. (2013), Combinatoria algebraica: paseos, árboles, cuadros y más , Springer, Lema 1.4, p. 4, ISBN 9781461469988.
- ^ Stanley (2013) ; Horn y Johnson (2012) , pág. 65 .
- ^ a b Timm, Neil H. (2002), Análisis multivariado aplicado , Textos de Springer en estadística, Springer, p. 30, ISBN 9780387227719.
- ^ Smith, Jonathan DH (2011), Introducción al álgebra abstracta , CRC Press, p. 77, ISBN 9781420063721.
- ^ Godsil, Chris (1993), Combinatoria algebraica , CRC Press, Lema 4.1, p. 25, ISBN 9780412041310.