En matemáticas , particularmente en álgebra lineal , una matriz cero o una matriz nula es una matriz cuyas entradas son cero . También sirve como la identidad aditiva del grupo aditivo de matrices, y se denota con el símbolo o - seguido de subíndices correspondientes a la dimensión de la matriz según el contexto lo considere adecuado. [1] [2] [3] [4] Algunos ejemplos de matrices cero son
Propiedades
El conjunto de matrices con entradas en un anillo K forma un anillo. La matriz cero en es la matriz con todas las entradas iguales a , dónde es la identidad aditiva en K.
La matriz cero es la identidad aditiva en . [5] Es decir, para todos satisface la ecuación
Existe exactamente una matriz cero de cualquier dimensión dada m × n (con entradas de un anillo dado), por lo que cuando el contexto es claro, a menudo se hace referencia a la matriz cero. En general, el elemento cero de un anillo es único y normalmente se indica con 0 sin ningún subíndice que indique el anillo principal. Por lo tanto, los ejemplos anteriores representan matrices cero sobre cualquier anillo.
La matriz cero también representa la transformación lineal que envía todos los vectores al vector cero . [6] Es idempotente , lo que significa que cuando se multiplica por sí mismo, el resultado es él mismo.
La matriz cero es la única matriz cuyo rango es 0.
Ocurrencias
El problema de la matriz mortal es el problema de determinar, dado un conjunto finito de n × n matrices con entradas enteras, si pueden multiplicarse en algún orden, posiblemente con repetición, para producir la matriz cero. Se sabe que esto es indecidible para un conjunto de seis o más matrices de 3 × 3, o un conjunto de dos matrices de 15 × 15. [7]
En la regresión de mínimos cuadrados ordinarios, si hay un ajuste perfecto a los datos, la matriz aniquiladora es la matriz cero.
Ver también
- Matriz de identidad , la identidad multiplicativa para matrices
- Matriz de unos , una matriz donde todos los elementos son uno
- Matriz nilpotente
- Matriz de entrada única , una matriz en la que todos los elementos menos uno son cero
Referencias
- ^ "Lista completa de símbolos de álgebra" . Bóveda de matemáticas . 2020-03-25 . Consultado el 13 de agosto de 2020 .
- ^ Lang, Serge (1987), Álgebra lineal , Textos de pregrado en matemáticas , Springer, p. 25, ISBN 9780387964126,
Tenemos una matriz cero en la que a ij = 0 para todo i , j . ... Vamos a escribirlo O .
CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace ) - ^ "Introducción a las matrices cero (artículo) | Matrices" . Khan Academy . Consultado el 13 de agosto de 2020 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Zero Matrix" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 13 de agosto de 2020 .
- ^ Warner, Seth (1990), Álgebra moderna , Publicaciones Courier Dover, p. 291, ISBN 9780486663418,
El elemento neutral para la suma se llama matriz cero, ya que todas sus entradas son cero.
- ^ Bronson, Richard; Costa, Gabriel B. (2007), Álgebra lineal: una introducción , Academic Press, p. 377, ISBN 9780120887842,
La matriz de cero representa la transformación cero 0 , que tiene la propiedad 0 ( v ) = 0 para cada vector v ∈ V .
- ^ Cassaigne, Julien; Halava, Vesa; Harju, Tero; Nicolás, Francois (2014). "Límites de indecidibilidad más estrictos para la mortalidad de la matriz, problemas de cero en la esquina y más". arXiv : 1404.0644 [ cs.DM ].