En teoría de números , el salto de Vieta , también conocido como volteo de raíz , es una técnica de prueba . Se usa con mayor frecuencia para problemas en los que se da una relación entre dos números enteros positivos, junto con un enunciado para probar sus soluciones. Existen múltiples métodos de salto de Vieta, todos los cuales involucran el tema común del descenso infinito al encontrar nuevas soluciones a una ecuación usando las fórmulas de Vieta .
Historia
Vieta jumping es una técnica para producir nuevas soluciones de una ecuación diofántica a partir de las conocidas. Es una técnica clásica en la teoría de ecuaciones diofánticas cuadráticas . Llamó la atención sobre los problemas de la olimpiada matemática , ya que el primer problema de la olimpiada en utilizarlo en una solución se propuso en 1988 para la Olimpiada Internacional de Matemáticas y se asumió que era el problema más difícil del concurso: [1] [2]
- Deje una y b ser números enteros positivos tales que ab + 1 divide un 2 + b 2 . Muestra esa es el cuadrado de un número entero. [3]
Arthur Engel escribió lo siguiente sobre la dificultad del problema:
Ninguno de los seis miembros del comité de problemas australiano pudo resolverlo. Dos de los miembros eran marido y mujer, George y Esther Szekeres , ambos famosos solucionadores y creadores de problemas. Como se trataba de un problema de teoría de números, se envió a los cuatro teóricos de números australianos más renombrados. Se les pidió que trabajaran en él durante seis horas. Ninguno de ellos pudo resolverlo en este tiempo. El comité de problemas lo presentó al jurado del XXIX IMO marcado con un doble asterisco, lo que significaba un problema superduro, posiblemente demasiado difícil de plantear. Después de una larga discusión, el jurado finalmente tuvo el coraje de elegirlo como último problema de la competencia. Once estudiantes dieron soluciones perfectas.
Entre los once estudiantes que recibieron la máxima puntuación por resolver este problema se encontraban Ngô Bảo Châu , Ravi Vakil , Zvezdelina Stankova y Nicușor Dan . [4] Emanouil Atanassov, Bulgaria, resolvió el problema en un párrafo y recibió un premio especial. [5]
Salto estándar de Vieta
El concepto de salto Vieta estándar es una prueba por contradicción y consta de los siguientes tres pasos: [6]
- Asumir ante una contradicción que existe alguna solución que viola los requisitos dados.
- Tome la solución mínima de acuerdo con alguna definición de minimidad.
- Demuestre que esto implica la existencia de una solución más pequeña, por lo tanto, una contradicción.
- Ejemplo
Problema # 6 en la OMI 1988 : Vamos a una y b ser números enteros positivos tales que ab + 1 divide un 2 + b 2 . Pruebaloa 2 + b 2/ab + 1es un cuadrado perfecto . [7] [8]
- Arregle algún valor k que sea un número entero positivo que no sea cuadrado. Suponga que existen enteros positivos ( a , b ) para los cuales k = a 2 + b 2/ab + 1.
- Sean ( A , B ) enteros positivos para los cuales k = A 2 + B 2/AB + 1y de tal manera que A + B se reduce al mínimo, y sin pérdida de generalidad asuma A ≥ B .
- Arreglando B , reemplace A con la variable x para producir x 2 - ( kB ) x + ( B 2 - k ) = 0 . Sabemos que una de las raíces de esta ecuación es x 1 = A . Por las propiedades estándar de las ecuaciones cuadráticas, sabemos que la otra raíz satisface x 2 = kB - A y x 2 = B 2 - k/A.
- La primera expresión para x 2 muestra que x 2 es un número entero, mientras que la segunda expresión implica que x 2 ≠ 0 ya que k no es un cuadrado perfecto. Dex 2 2 + B 2/x 2 B + 1= k > 0, se sigue además que x 2 es un número entero positivo. Finalmente, A ≥ B implica que x 2 = B 2 - k/A< A y por lo tanto x 2 + B < A + B , lo que contradice la minimalidad de A + B .
Descenso constante Vieta saltando
El método de descenso constante Vieta salto se utiliza cuando se quiere probar una declaración con respecto a una constante k tener algo que ver con la relación entre una y b . A diferencia del salto estándar de Vieta, el descenso constante no es una prueba por contradicción y consta de los siguientes cuatro pasos: [9]
- El caso de igualdad se prueba de modo que se puede suponer que a > b .
- b y k son fijos y la expresión relativa a , b , y k se reordena para formar una cuadrática con coeficientes en términos de b y k , una de cuyas raíces es una . La otra raíz, x 2, se determina mediante las fórmulas de Vieta.
- Se muestra que para todo ( a , b ) por encima de cierto caso base, 0 < x 2 < b < a y que x 2 es un número entero. Por lo tanto, podemos reemplazar ( a , b ) con ( b , x 2 ) y repetir este proceso hasta llegar al caso base.
- El enunciado está probado para el caso base, y como k se ha mantenido constante durante este proceso, esto es suficiente para probar el enunciado para todos los pares ordenados.
- Ejemplo
Deje una y b ser números enteros positivos tales que ab divide un 2 + b 2 + 1 . Demuestre que 3 ab = a 2 + b 2 + 1 . [10]
- Si a = b , a 2 debe dividir 2 a 2 + 1 y por lo tanto a = b = 1 y 3 (1) (1) = 1 2 + 1 2 + 1 . Entonces, sin pérdida de generalidad, suponga que a > b .
- Sea k = a 2 + b 2 + 1/aby reorganizar y sustituir para obtener x 2 - ( kb ) x + ( b 2 + 1) = 0 . Una raíz de esta cuadrática es a , por lo que según las fórmulas de Vieta, la otra raíz se puede escribir de la siguiente manera: x 2 = kb - a = b 2 + 1/a.
- La primera ecuación muestra que x 2 es un número entero y la segunda que es positivo. Porque a > b , x 2 = b 2 + 1/a< b siempre que b > 1 .
- El caso base al que llegamos es el caso en el que b = 1 . Para que esto satisface la condición dada, un debe dividir un 2 + 2 , por lo que un 1 o 2. El primer caso se elimina porque un = b . En el segundo caso, k = a 2 + b 2 + 1/ab = 6/2= 3 . Como k ha permanecido constante a lo largo de este proceso, esto es suficiente para demostrar que k siempre será igual a 3.
Interpretación geométrica
El salto de Vieta se puede describir en términos de puntos de celosía en hipérbolas en el primer cuadrante. [1] En su lugar, se utiliza el mismo proceso de encontrar raíces más pequeñas para encontrar puntos de celosía inferiores en una hipérbola mientras permanecen en el primer cuadrante. El procedimiento es el siguiente:
- Desde la condición dada se obtiene la ecuación de una familia de hipérbolas que son sin cambios por conmutación de x y y de manera que son simétricas alrededor de la línea y = x .
- Demuestre el enunciado deseado para las intersecciones de las hipérbolas y la recta y = x .
- Suponga que hay algún punto reticular ( x , y ) en alguna hipérbola y sin pérdida de generalidad x < y . Luego, por las fórmulas de Vieta, hay un punto de celosía correspondiente con la misma coordenada x en la otra rama de la hipérbola, y por reflexión a través de y = x se obtiene un nuevo punto en la rama original de la hipérbola.
- Se muestra que este proceso produce puntos más bajos en la misma rama y se puede repetir hasta que se logre alguna condición (como x = 0 ). Luego, mediante la sustitución de esta condición en la ecuación de la hipérbola, se probará la conclusión deseada.
- Ejemplo
Este método se puede aplicar a un problema # 6 en la OMI 1988 : Vamos a y b ser números enteros positivos tales que ab + 1 divide un 2 + b 2 . Pruebaloa 2 + b 2/ab + 1 es un cuadrado perfecto.
- Dejar a 2 + b 2/ab + 1= q y fije el valor de q . Entonces ( a , b ) representa un punto reticular en la hipérbola H definida por la ecuación x 2 + y 2 - qxy - q = 0 .
- Si x = y, entonces encontramos x = y = q = 1 , lo que satisface trivialmente la afirmación.
- Sea ( x , y ) un punto de celosía en una rama H , y suponga 0 < x < y para que esté en la rama superior. Mediante la aplicación de las fórmulas de Vieta, ( x , qx - y ) es un punto de la red en la rama inferior de H . Como x > 0 , por la ecuación de H , se sigue que y '= qx - y ≥ 0 . A menos que y '= qx - y = 0 , por reflexión ( qx - y , x ) es otro punto de celosía en la rama original. Este nuevo punto tiene una coordenada positiva ( x , y ) más pequeña y, por lo tanto, está en el primer cuadrante y se encuentra por debajo del punto original.
- Este proceso se puede repetir; sin embargo, solo unas pocas veces. Por tanto, este proceso debe llegar a algún punto ( x , 0) de la rama inferior de H ; por sustitución, q = x 2 es un cuadrado según se requiera.
Ver también
Notas
- ↑ a b Arthur Engel (1998). Estrategias de resolución de problemas . Saltador. pag. 127. doi : 10.1007 / b97682 . ISBN 978-0-387-98219-9.
- ^ "El regreso de la leyenda de la pregunta seis" . Numberphile . 16 de agosto de 2016 - vía YouTube .
- ^ "Olimpiada Internacional de Matemáticas" . www.imo-official.org . Consultado el 29 de septiembre de 2020 .
- ^ "Resultados de la Olimpiada Internacional de Matemáticas 1988" . Imo-official.org . Consultado el 3 de marzo de 2013 .
- ^ https://www.imo-official.org/participant_r.aspx?id=1586
- ^ Yimin Ge (2007). "El método de Vieta Jumping" (PDF) . Reflexiones matemáticas . 5 .
- ^ "Foro de AoPS: ¡uno de mis problemas favoritos, sí!" . Artofproblemsolving.com . Consultado el 3 de marzo de 2013 .
- ^ KS Brown. "N = (x ^ 2 + y ^ 2) / (1 + xy) es un cuadrado" . MathPages.com . Consultado el 26 de septiembre de 2016 .
- ^ "Foro de AoPS - números de lémur" . Artofproblemsolving.com . Consultado el 3 de marzo de 2013 .
- ^ "Foro de AoPS: x * y | x ^ 2 + y ^ 2 + 1" . Artofproblemsolving.com. 2005-06-07 . Consultado el 3 de marzo de 2013 .
enlaces externos
- Vieta Root Jumping en Brilliant.org