En matemáticas , una junta apolínea o red apolínea es un fractal generado a partir de un triple de círculos, cada tangente a los otros dos, y llenando sucesivamente más círculos, cada tangente a otros tres. Lleva el nombre del matemático griego Apolonio de Perge . [1]
Construcción
Una junta apolínea se puede construir de la siguiente manera. Comience con tres círculos C 1 , C 2 y C 3 , cada uno de los cuales es tangente a los otros dos (en la construcción general, estos tres círculos deben ser de diferentes tamaños y deben tener una tangente común). Apolonio descubrió que hay otros dos círculos que no se cruzan, C 4 y C 5 , que tienen la propiedad de que son tangentes a los tres círculos originales; estos se denominan círculos apolíneos . Añadiendo los dos círculos apolíneos a los tres originales, ahora tenemos cinco círculos.
Tome uno de los dos círculos apolíneos, diga C 4 . Es tangente a C 1 y C 2 , por lo que el triplete de círculos C 4 , C 1 y C 2 tiene sus propios dos círculos apolíneos. Ya conocemos uno de estos, es C 3 , pero el otro es un nuevo círculo C 6 .
De manera similar, podemos construir otro círculo nuevo C 7 que sea tangente a C 4 , C 2 y C 3 , y otro círculo C 8 de C 4 , C 3 y C 1 . Esto nos da 3 nuevos círculos. Podemos construir otros tres círculos nuevos a partir de C 5 , dando seis círculos nuevos en total. Junto con los círculos C 1 a C 5 , esto da un total de 11 círculos.
Continuando la construcción etapa por etapa de esta manera, podemos agregar 2 · 3 n círculos nuevos en la etapa n , dando un total de 3 n +1 + 2 círculos después de n etapas. En el límite, este conjunto de círculos es una junta apolínea.
Los tamaños de los nuevos círculos están determinados por el teorema de Descartes . Sea k i (para i = 1, ..., 4) las curvaturas de cuatro círculos mutuamente tangentes. Entonces el teorema de Descartes establece
( 1 )
La junta de Apolínea tiene una dimensión de Hausdorff de aproximadamente 1,3057. [2]
Curvatura
La curvatura de un círculo (doblez) se define como el recíproco de su radio.
- La curvatura negativa indica que todos los demás círculos son internamente tangentes a ese círculo. Este es un círculo delimitador.
- La curvatura cero da una línea (círculo con radio infinito).
- La curvatura positiva indica que todos los demás círculos son externamente tangentes a ese círculo. Este círculo está en el interior del círculo con curvatura negativa.
Variaciones
También se puede construir una junta apolínea reemplazando uno de los círculos generadores por una línea recta, que puede considerarse como un círculo que pasa por el punto en el infinito.
Alternativamente, dos de los círculos generadores pueden reemplazarse por líneas rectas paralelas, que pueden considerarse tangentes entre sí en el infinito. En esta construcción, los círculos adicionales forman una familia de círculos Ford .
El equivalente tridimensional de la junta apolínea es la empaquetadura de la esfera apolínea .
Simetrías
Si dos de los círculos generadores originales tienen el mismo radio y el tercer círculo tiene un radio que es dos tercios de este, entonces la junta apolínea tiene dos líneas de simetría reflectante; una línea es la línea que une los centros de los círculos iguales; la otra es su tangente mutua, que pasa por el centro del tercer círculo. Estas líneas son perpendiculares entre sí, por lo que la junta apolínea también tiene simetría rotacional de grado 2; el grupo de simetría de esta junta es D 2 .
Si los tres círculos generadores originales tienen el mismo radio, entonces la junta apolínea tiene tres líneas de simetría reflectante; estas líneas son las tangentes mutuas de cada par de círculos. Cada tangente mutua también pasa por el centro del tercer círculo y el centro común de los dos primeros círculos apolíneos. Estos ejes de simetría forman ángulos de 60 grados entre sí, por lo que la junta apolínea también tiene una simetría rotacional de grado 3; el grupo de simetría de esta junta es D 3 .
Vínculos con geometría hiperbólica
Los tres círculos generadores, y por lo tanto toda la construcción, están determinados por la ubicación de los tres puntos en los que son tangentes entre sí. Dado que hay una transformación de Möbius que asigna tres puntos dados en el plano a otros tres puntos, y dado que las transformaciones de Möbius conservan los círculos, entonces hay una transformación de Möbius que asigna dos juntas apolíneas cualesquiera entre sí.
Las transformaciones de Möbius también son isometrías del plano hiperbólico , por lo que en la geometría hiperbólica todas las juntas apolíneas son congruentes. En cierto sentido, por lo tanto, solo hay una junta apolínea, hasta la isometría (hiperbólica).
La junta de Apolínea es el conjunto límite de un grupo de transformaciones de Möbius conocido como grupo kleiniano . [3]
Empaquetaduras de círculo apolíneo integral
Empaquetamiento de círculo apolíneo integral definido por curvaturas de círculo de (−1, 2, 2, 3)
Empaquetamiento de círculo apolíneo integral definido por curvaturas de círculo de (−3, 5, 8, 8)
Empaquetamiento de círculo apolíneo integral definido por curvaturas de círculo de (−12, 25, 25, 28)
Empaquetamiento de círculo apolíneo integral definido por curvaturas de círculo de (−6, 10, 15, 19)
Empaquetamiento de círculo apolíneo integral definido por curvaturas de círculo de (−10, 18, 23, 27)
Si cualesquiera cuatro círculos mutuamente tangentes en una junta apolínea tienen todos una curvatura entera, entonces todos los círculos de la junta tendrán una curvatura entera. [4] Dado que la ecuación que relaciona las curvaturas en una junta apolínea, integral o no, es
de ello se deduce que uno puede pasar de un cuádruple de curvaturas a otro saltando Vieta , al igual que cuando se encuentra un nuevo número de Markov . Las primeras de estas juntas apolíneas integrales se enumeran en la siguiente tabla. La tabla enumera las curvaturas de los círculos más grandes de la junta. Solo se necesitan las tres primeras curvaturas (de las cinco que se muestran en la tabla) para describir completamente cada junta; todas las demás curvaturas se pueden derivar de estas tres.
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Simetría de empaquetaduras de círculo apolíneo integral
Sin simetría
Si ninguna de las curvaturas se repite dentro de las cinco primeras, la junta no contiene simetría, que está representada por el grupo de simetría C 1 ; la junta descrita por curvaturas (−10, 18, 23, 27) es un ejemplo.
Simetría D 1
Siempre que dos de los cinco círculos más grandes de la junta tengan la misma curvatura, esa junta tendrá simetría D 1 , que corresponde a una reflexión a lo largo de un diámetro del círculo delimitador, sin simetría rotacional.
Simetría D 2
Si se repiten dos curvaturas diferentes dentro de las cinco primeras, la junta tendrá simetría D 2 ; tal simetría consta de dos reflexiones (perpendiculares entre sí) a lo largo de los diámetros del círculo delimitador, con una simetría rotacional doble de 180 °. La junta descrita por las curvaturas (-1, 2, 2, 3) es la única junta apolínea (hasta un factor de escala) que posee simetría D 2 .
Simetría D 3
No hay juntas enteras con simetría D 3 .
Si los tres círculos con la curvatura positiva más pequeña tienen la misma curvatura, la junta tendrá simetría D 3 , que corresponde a tres reflejos a lo largo de los diámetros del círculo delimitador (separados 120 °), junto con una simetría rotacional triple de 120 °. En este caso, la relación entre la curvatura del círculo delimitador y los tres círculos internos es 2 √ 3 - 3. Como esta relación no es racional, ningún empaque de círculo apolíneo integral posee esta simetría D 3 , aunque muchos empaques se acercan.
Casi- D 3 simetría
La figura de la izquierda es una junta apolínea integral que parece tener simetría D 3 . La misma figura se muestra a la derecha, con etiquetas que indican las curvaturas de los círculos interiores, lo que ilustra que la junta en realidad posee solo la simetría D 1 común a muchas otras juntas apolíneas integrales.
La siguiente tabla muestra más de estos casi - D 3 juntas Apollonian integrales. La secuencia tiene algunas propiedades interesantes, y la tabla enumera una factorización de las curvaturas, junto con el multiplicador necesario para pasar del conjunto anterior al actual. Los valores absolutos de las curvaturas de los discos "a" obedecen a la relación de recurrencia a ( n ) = 4 a ( n - 1) - a ( n - 2) (secuencia A001353 en la OEIS ), de donde se sigue que el multiplicador converge a √ 3 + 2 ≈ 3.732050807.
Curvatura | Factores | Multiplicador | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
a | B | C | D | a | B | D | a | B | C | D | ||
−1 | 2 | 2 | 3 | 1 × 1 | 1 × 2 | 1 × 3 | N / A | N / A | N / A | N / A | ||
−4 | 8 | 9 | 9 | 2 × 2 | 2 × 4 | 3 × 3 | 4.000000000 | 4.000000000 | 4.500000000 | 3.000000000 | ||
−15 | 32 | 32 | 33 | 3 × 5 | 4 × 8 | 3 × 11 | 3.750000000 | 4.000000000 | 3.555555556 | 3.666666667 | ||
−56 | 120 | 121 | 121 | 8 × 7 | 8 × 15 | 11 × 11 | 3.733333333 | 3.750000000 | 3.781250000 | 3.666666667 | ||
−209 | 450 | 450 | 451 | 11 × 19 | 15 × 30 | 11 × 41 | 3.732142857 | 3.750000000 | 3.719008264 | 3.727272727 | ||
−780 | 1680 | 1681 | 1681 | 30 × 26 | 30 × 56 | 41 × 41 | 3.732057416 | 3.733333333 | 3.735555556 | 3.727272727 | ||
−2911 | 6272 | 6272 | 6273 | 41 × 71 | 56 × 112 | 41 × 153 | 3.732051282 | 3.733333333 | 3.731112433 | 3.731707317 | ||
−10864 | 23408 | 23409 | 23409 | 112 × 97 | 112 × 209 | 153 × 153 | 3.732050842 | 3.732142857 | 3.732302296 | 3.731707317 | ||
−40545 | 87362 | 87362 | 87363 | 153 × 265 | 209 × 418 | 153 × 571 | 3.732050810 | 3.732142857 | 3.731983425 | 3,732026144 |
Curvaturas secuenciales
Para cualquier número entero n > 0, existe una junta apolínea definida por las siguientes curvaturas:
(- n , n + 1, n ( n + 1), n ( n + 1) + 1).
Por ejemplo, las juntas definidas por (−2, 3, 6, 7), (−3, 4, 12, 13), (−8, 9, 72, 73) y (−9, 10, 90, 91 ) todos siguen este patrón. Debido a que cada círculo interior definido por n + 1 puede convertirse en el círculo delimitador (definido por - n ) en otra junta, estas juntas se pueden anidar . Esto se demuestra en la figura de la derecha, que contiene estas juntas secuenciales con n que van de 2 a 20.
Ver también
- Teorema de Descartes , para curvaturas de círculos mutuamente tangentes
- Ford circle , el caso especial de junta apolínea integral (0,0,1,1)
- Triángulo de Sierpiński
- Red apolínea , un gráfico derivado de subconjuntos finitos de la junta apolínea
Notas
- ^ Satija, II, La mariposa en el mundo de Iglesias Waseas: La historia del fractal cuántico más fascinante ( Bristol : IOP Publishing , 2016), p. 5 .
- ^ McMullen, Curtis T. (3 de octubre de 1997). " Dimensión de Hausdorff y dinámica conforme III: Cálculo de la dimensión ", Abel.Math.Harvard.edu . Consultado: 27 de octubre de 2018.
- ^ Círculos de conteo y teoría ergódica de grupos kleinianos por Hee Oh Brown. Universidad dic 2009
- ^ Ronald L. Graham, Jeffrey C. Lagarias, Colin M. Mallows, Alan R. Wilks y Catherine H. Yan; "Empaquetaduras de círculo apolíneo: teoría de números" J. Teoría de números, 100 (2003), 1-45
Referencias
- Benoit B. Mandelbrot: La geometría fractal de la naturaleza , WH Freeman, 1982, ISBN 0-7167-1186-9
- Paul D. Bourke: " Introducción al Fractal Apolonia ". Computers and Graphics, Vol 30, Número 1, enero de 2006, páginas 134–136.
- David Mumford , Caroline Series , David Wright: Perlas de Indra: La visión de Felix Klein , Cambridge University Press, 2002, ISBN 0-521-35253-3
- Jeffrey C. Lagarias, Colin L. Mallows, Allan R. Wilks: Más allá del teorema del círculo de Descartes , The American Mathematical Monthly, vol. 109, No. 4 (abril de 2002), págs. 338–361, ( arXiv: math.MG/0101066 v1 9 de enero de 2001 )
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Junta apolínea" . MathWorld .
- Alexander Bogomolny , junta apolínea , corte el nudo
- Una junta apolínea interactiva que se ejecuta en HTML5 puro (el enlace está muerto)
- (en inglés) Un script de Matlab para trazar una junta apolínea 2D con n círculos idénticos usando la inversión de círculos
- Experimentos en línea con JSXGraph
- Junta apolínea de Michael Screiber, The Wolfram Demonstrations Project .
- Demostración interactiva de junta apolínea de una junta apolínea que se ejecuta en Java
- Dana Mackenzie. Un tisket, un tasket, una junta apolínea . American Scientist, enero / febrero de 2010.
- "Sand dibujando la obra de arte individual más grande del mundo" , The Telegraph , 16 de diciembre de 2009. Artículo de periódico sobre una obra de arte en forma de junta apolínea parcial, con una circunferencia exterior de nueve millas.
- (en italiano) Juntas apolíneas dinámicas , Tartapelago de Giorgio Pietrocola, 2014.