En teoría de números , el teorema de Vinogradov es un resultado que implica que cualquier entero impar suficientemente grande puede escribirse como una suma de tres números primos . Es una forma más débil de la conjetura débil de Goldbach , lo que implicaría la existencia de tal representación para todos los enteros impares mayores de cinco. Lleva el nombre de Ivan Matveyevich Vinogradov, quien lo probó en la década de 1930. Hardy y Littlewood habían demostrado anteriormente que este resultado se derivaba de la hipótesis generalizada de Riemann, y Vinogradov pudo eliminar esta suposición. El enunciado completo del teorema de Vinogradov da límites asintóticos en el número de representaciones de un entero impar como suma de tres primos.
Declaración del teorema de Vinogradov
Sea A un número real positivo. Luego
dónde
usando la función von Mangoldt , y
Una consecuencia
Si N es impar, entonces G ( N ) es aproximadamente 1, por lo tantopara todo N suficientemente grande . Al mostrar que la contribución hecha a r ( N ) por los poderes primos propios es, uno ve eso
Esto significa en particular que cualquier entero impar suficientemente grande puede escribirse como una suma de tres primos, mostrando así la conjetura débil de Goldbach para todos los casos excepto para un número finito. En 2013, Harald Helfgott demostró la conjetura débil de Goldbach para todos los casos.
Estrategia de prueba
La demostración del teorema sigue el método del círculo de Hardy-Littlewood . Definir la suma exponencial
- .
Entonces nosotros tenemos
- ,
dónde denota el número de representaciones restringidas a los poderes primos . Por eso
- .
Si es un número racional , luego puede estar dado por la distribución de números primos en clases de residuos módulo . Por lo tanto, usando el teorema de Siegel-Walfisz podemos calcular la contribución de la integral anterior en vecindarios pequeños de puntos racionales con denominador pequeño. El conjunto de números reales cercanos a tales puntos racionales generalmente se conoce como arcos mayores, el complemento forma los arcos menores. Resulta que estos intervalos dominan la integral, por lo que para probar el teorema uno tiene que dar un límite superior para por contenido en los arcos menores. Esta estimación es la parte más difícil de la prueba.
Si asumimos la Hipótesis de Riemann generalizada , el argumento utilizado para los arcos mayores se puede extender a los arcos menores. Esto fue hecho por Hardy y Littlewood en 1923. En 1937 Vinogradov dio un límite superior incondicional para. Su argumento comenzó con una identidad de tamiz simple, los términos resultantes luego se reorganizaron de una manera complicada para obtener alguna cancelación. En 1977, RC Vaughan encontró un argumento mucho más simple, basado en lo que más tarde se conoció como la identidad de Vaughan . Demostró que si, luego
- .
Usando el teorema de Siegel-Walfisz podemos tratar con hasta poderes arbitrarios de , usando el teorema de aproximación de Dirichlet obtenemosen los arcos menores. Por lo tanto, la integral sobre los arcos menores puede estar acotada arriba por
- ,
que da el término de error en el teorema.
Referencias
- Vinogradov, Ivan Matveevich (1954). El método de las sumas trigonométricas en la teoría de los números . Traducido, revisado y anotado por KF Roth y Anne Davenport. Londres y Nueva York: Interscience. Señor 0062183 .
- Nathanson, Melvyn B. (1996). Teoría de números aditivos. Las bases clásicas . Textos de Posgrado en Matemáticas. 164 . Nueva York: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4757-3845-2 . ISBN 0-387-94656-X. Señor 1395371 . Capítulo 8.