En matemáticas , la función de von Mangoldt es una función aritmética que lleva el nombre del matemático alemán Hans von Mangoldt . Es un ejemplo de una función aritmética importante que no es ni multiplicativa ni aditiva .
Definición
La función de von Mangoldt, denotada por Λ ( n ) , se define como
Los valores de Λ ( n ) para los primeros nueve enteros positivos (es decir, números naturales) son
que está relacionado con (secuencia A014963 en la OEIS ).
La función sumatoria de von Mangoldt , ψ ( x ) , también conocida como la segunda función de Chebyshev , se define como
Von Mangoldt proporcionó una prueba rigurosa de una fórmula explícita para ψ ( x ) que implica una suma sobre los ceros no triviales de la función zeta de Riemann . Esta fue una parte importante de la primera demostración del teorema de los números primos .
Propiedades
La función de von Mangoldt satisface la identidad [1] [2]
La suma se toma sobre todos los enteros d que dividen n . Esto se demuestra mediante el teorema fundamental de la aritmética , ya que los términos que no son potencias de primos son iguales a 0 . Por ejemplo, considere el caso n = 12 = 2 2 × 3 . Luego
Por inversión de Möbius , tenemos [2] [3] [4]
Serie Dirichlet
La función de von Mangoldt juega un papel importante en la teoría de las series de Dirichlet y, en particular, la función zeta de Riemann . Por ejemplo, uno tiene
La derivada logarítmica es entonces [5]
Estos son casos especiales de una relación más general sobre las series de Dirichlet. Si uno tiene
para una función completamente multiplicativa f ( n ) , y la serie converge para Re ( s )> σ 0 , entonces
converge para Re ( s )> σ 0 .
Función de Chebyshev
La segunda función de Chebyshev ψ ( x ) es la función sumatoria de la función de von Mangoldt: [6]
La transformada de Mellin de la función de Chebyshev se puede encontrar aplicando la fórmula de Perron :
que es válido para Re ( s )> 1 .
Serie exponencial
Hardy y Littlewood examinaron la serie [7]
en el límite y → 0 + . Asumiendo la hipótesis de Riemann , demuestran que
En particular, esta función es oscilatoria con divergente oscilaciones : existe un valor K > 0 tal que ambas desigualdades
se mantienen infinitamente a menudo en cualquier vecindad de 0. El gráfico de la derecha indica que este comportamiento no es al principio numéricamente obvio: las oscilaciones no se ven claramente hasta que la serie se suma en exceso de 100 millones de términos, y solo son fácilmente visibles cuando y <10 −5 .
Riesz significa
La media de Riesz de la función de von Mangoldt está dada por
Aquí, λ y δ son números que caracterizan la media de Riesz. Uno debe tomar c > 1 . La suma sobre ρ es la suma sobre los ceros de la función zeta de Riemann, y
puede demostrarse que es una serie convergente para λ > 1 .
Aproximación por ceros zeta de Riemann
Existe una fórmula explícita para la función sumatoria de Mangoldt dado por [8]
Si separamos los ceros triviales de la función zeta, que son los enteros pares negativos, obtenemos
Tomando la derivada de ambos lados, ignorando los problemas de convergencia, obtenemos una "igualdad" de distribuciones
Por lo tanto, deberíamos esperar que la suma sobre ceros zeta no triviales
picos en los primos. De hecho, este es el caso, como se puede ver en el gráfico adjunto, y también se puede verificar mediante cálculo numérico.
La transformada de Fourier de la función de von Mangoldt da un espectro con picos en ordenadas iguales a las partes imaginarias de los ceros de la función zeta de Riemann. A esto a veces se le llama dualidad.
Ver también
Referencias
- ^ Apostol (1976) p.32
- ↑ a b Tenenbaum (1995) p.30
- ^ Apostol (1976) p.33
- ^ Schroeder, Manfred R. (1997). Teoría de números en ciencia y comunicación. Con aplicaciones en criptografía, física, información digital, informática y auto-similitud . Serie Springer en Ciencias de la Información. 7 (3ª ed.). Berlín: Springer-Verlag . ISBN 3-540-62006-0. Zbl 0997.11501 .
- ^ Hardy y Wright (2008) §17.7, Teorema 294
- ^ Apostol (1976) p.246
- ^ Hardy, GH y Littlewood, JE (1916). "Contribuciones a la teoría de la función Zeta de Riemann y la teoría de la distribución de primas" (PDF) . Acta Mathematica . 41 : 119-196. doi : 10.1007 / BF02422942 . Archivado desde el original (PDF) el 7 de febrero de 2012 . Consultado el 3 de julio de 2014 .
- ^ Conrey, J. Brian (marzo de 2003). "La hipótesis de Riemann" (PDF) . Avisos Am. Matemáticas. Soc . 50 (3): 341–353. Zbl 1160.11341 . Página 346
- Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929 , Zbl 0.335,10001
- Hardy, GH ; Wright, EM (2008) [1938]. Heath-Brown, DR ; Silverman, JH (eds.). Introducción a la teoría de los números (6ª ed.). Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-921985-8. Señor 2445243 . Zbl 1159.11001 .
- Tenebaum, Gérald (1995). Introducción a la teoría de números analítica y probabilística . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. 46 . Traducido por CB Thomas. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-41261-7. Zbl 0831.11001 .
enlaces externos
- Allan Gut, Algunas observaciones sobre la distribución zeta de Riemann (2005)
- SA Stepanov (2001) [1994], "Función de Mangoldt" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Chris King, Primes de la nada (2010)
- Heike, ¿Cómo trazar el espectro cero zeta de Riemann en Mathematica? (2012)