El teorema de Viviani , que lleva el nombre de Vincenzo Viviani , establece que la suma de las distancias desde cualquier punto interior a los lados de un triángulo equilátero es igual a la longitud de la altitud del triángulo . [1] Es un teorema comúnmente empleado en varios concursos de matemáticas, exámenes de matemáticas de la escuela secundaria y tiene una amplia aplicabilidad a muchos problemas en el mundo real.
Prueba
Esta demostración depende de la proposición fácilmente probada de que el área de un triángulo es la mitad de su base por su altura, es decir, la mitad del producto de un lado con la altitud de ese lado. [2]
Sea ABC un triángulo equilátero cuya altura es hy cuyo lado es a .
Sea P cualquier punto dentro del triángulo y u, s, t las distancias de P a los lados. Dibuja una línea desde P hasta cada uno de A, B y C, formando tres triángulos PAB, PBC y PCA.
Ahora, las áreas de estos triángulos son , , y . Ellos llenan exactamente el triángulo circundante, por lo que la suma de estas áreas es igual al área del triángulo circundante. Entonces podemos escribir:
y por lo tanto
Conversar
Lo contrario también es válido: si la suma de las distancias desde un punto interior de un triángulo a los lados es independiente de la ubicación del punto, el triángulo es equilátero. [3]
Aplicaciones
El teorema de Viviani significa que las líneas paralelas a los lados de un triángulo equilátero dan coordenadas para hacer diagramas ternarios , como diagramas de inflamabilidad .
De manera más general, permiten dar coordenadas en un simplex regular de la misma manera.
Extensiones
Paralelogramo
La suma de las distancias desde cualquier punto interior de un paralelogramo a los lados es independiente de la ubicación del punto. Lo contrario también es válido: si la suma de las distancias desde un punto en el interior de un cuadrilátero a los lados es independiente de la ubicación del punto, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo. [3]
El resultado se generaliza a cualquier 2 n -gon con lados opuestos paralelos. Dado que la suma de las distancias entre cualquier par de lados paralelos opuestos es constante, se deduce que la suma de todas las sumas por pares entre los pares de lados paralelos también es constante. Lo contrario en general no es cierto, ya que el resultado es válido para un hexágono equilátero , que no necesariamente tiene lados opuestos paralelos.
Polígono regular
Si un polígono es regular (tanto equiangular como equilátero ), la suma de las distancias a los lados desde un punto interior es independiente de la ubicación del punto. Específicamente, es igual a n veces la apotema , donde n es el número de lados y la apotema es la distancia del centro a un lado. [3] [4] Sin embargo, lo contrario no es válido; el paralelogramo no cuadrado es un contraejemplo . [3]
Polígono equiangular
La suma de las distancias desde un punto interior a los lados de un polígono equiangular no depende de la ubicación del punto. [1]
Polígono convexo
Una condición necesaria y suficiente para que un polígono convexo tenga una suma constante de distancias desde cualquier punto interior a los lados es que existan tres puntos interiores no colineales con sumas iguales de distancias. [1]
Poliedro regular
La suma de las distancias desde cualquier punto del interior de un poliedro regular a los lados es independiente de la ubicación del punto. Sin embargo, lo contrario no es válido, ni siquiera para los tetraedros . [3]
Referencias
- ↑ a b c Abboud, Elias (2010). "Sobre el teorema de Viviani y sus extensiones". Revista universitaria de matemáticas . 43 (3): 203–211. arXiv : 0903.0753 . doi : 10.4169 / 074683410X488683 .
- ^ Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Pruebas encantadoras: un viaje hacia las matemáticas elegantes . MAA 2010, ISBN 9780883853481 , pág. 96 ( extracto (Google) , p. 96, en Google Books )
- ^ a b c d e Chen, Zhibo; Liang, Tian (2006). "El inverso del teorema de Viviani". The College Mathematics Journal . 37 (5): 390–391. doi : 10.2307 / 27646392 . JSTOR 27646392 .
- ^ Pickover, Clifford A. (2009). El libro de matemáticas . Stirling. pag. 150. ISBN 978-1402788291.
Otras lecturas
- Gueron, Shay; Tessler, Ran (2002). "El problema de Fermat-Steiner". Amer. Matemáticas. Mensual . 109 (5): 443–451. doi : 10.2307 / 2695644 . JSTOR 2695644 .
- Samelson, Hans (2003). "Prueba sin palabras: teorema de Viviani con vectores". Matemáticas. Mag . 76 (3): 225. doi : 10.2307 / 3219327 . JSTOR 3219327 .
- Chen, Zhibo; Liang, Tian (2006). "El inverso del teorema de Viviani". The College Mathematics Journal . 37 (5): 390–391.
- Kawasaki, Ken-Ichiroh; Yagi, Yoshihiro; Yanagawa, Katsuya (2005). "Sobre el teorema de Viviani en tres dimensiones". Matemáticas. Gaz . 89 (515): 283–287. JSTOR 3621243 .
- Zhou, Li (2012). "Politopos de Viviani y Puntos Fermat". Coll. Matemáticas. J . 43 (4): 309–312. arXiv : 1008.1236 . CiteSeerX 10.1.1.740.7670 . doi : 10.4169 / college.math.j.43.4.309 .
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Teorema de Viviani" . MathWorld .
- Li Zhou, Viviani Polytopes y Fermat Points
- "Teorema de Viviani: ¿Qué es?" .en Cortar el nudo .
- Warendorff, Jay. "Teorema de Viviani" .el Proyecto de Demostraciones Wolfram .
- "Una variación del teorema de Viviani y algunas generalizaciones" .en Dynamic Geometry Sketches , un boceto interactivo de geometría dinámica.
- Abboud, Elias (2017). "Loci de puntos inspirados en el teorema de Viviani". arXiv : 1701.07339 [ matemáticas.HO ].
- Armstrong, Addie; McQuillan, Dan (2017). "Especialización, generalización y una nueva prueba del teorema de Viviani". arXiv : 1701.01344 [ matemáticas.HO ].