Directo | Indirecto | Sesgar |
---|---|---|
Un rectángulo , <4>, es un polígono equiangular directo convexo , que contiene cuatro ángulos internos de 90 °. | Un polígono equiangular indirecto cóncavo , <6-2>, como este hexágono, en sentido antihorario, tiene cinco vueltas a la izquierda y una vuelta a la derecha, como este tetromino . | Un polígono sesgado tiene ángulos iguales fuera de un plano, como este octágono sesgado que alterna bordes rojos y azules en un cubo . |
Directo | Indirecto | Contrarrestado |
Un polígono equiangular de múltiples vueltas puede ser directo, como este octágono, <8/2>, tiene 8 vueltas de 90 °, totalizando 720 °. | Un polígono equiangular indirecto cóncavo , <5-2>, en sentido antihorario tiene 4 vueltas a la izquierda y una vuelta a la derecha. (-1.2.4.3.2) 60 ° | Un hexágono equiangular indirecto, <6-6> 90 ° con 3 giros a la izquierda, 3 giros a la derecha, totalizando 0 °. |
En geometría euclidiana , un polígono equiangular es un polígono cuyos ángulos de vértice son iguales. Si las longitudes de los lados también son iguales (es decir, si también es equilátero ), entonces es un polígono regular . Los polígonos isogonales son polígonos equiangulares que alternan dos longitudes de borde.
Para mayor claridad, un polígono equiangular plano se puede llamar directo o indirecto . Un polígono equiangular directo tiene todos los ángulos que giran en la misma dirección en un plano y puede incluir múltiples giros . Los polígonos equiangulares convexos son siempre directos. Un polígono equiangular indirecto puede incluir ángulos que giran hacia la derecha o hacia la izquierda en cualquier combinación. Un polígono equiangular sesgado puede ser isogonal , pero no puede considerarse directo porque no es plano.
Una espirolateral n θ es un caso especial de un polígono equiangular con un conjunto de n longitudes de aristas enteras que se repiten en secuencia hasta volver al inicio, con ángulos internos de vértice θ.
Construcción
Este hexágono equiangular directo convexo , <6>, está delimitado por 6 líneas con un ángulo de 60 ° entre ellas. Cada línea se puede mover perpendicular a su dirección. | Este hexágono equiangular indirecto cóncavo , <6-2>, también está delimitado por 6 líneas con un ángulo de 90 ° entre ellas, cada línea se movió independientemente, moviendo los vértices como nuevas intersecciones. |
Un polígono equiangular se puede construir a partir de un polígono regular o un polígono en estrella regular donde los bordes se extienden como líneas infinitas . Cada borde se puede mover de forma independiente perpendicular a la dirección de la línea. Los vértices representan el punto de intersección entre pares de líneas vecinas. Cada línea movida ajusta su longitud de borde y la longitud de sus dos bordes vecinos. [1] Si los bordes se reducen a una longitud cero, el polígono se degenera, o si se reduce a longitudes negativas , esto invertirá los ángulos internos y externos.
Para un polígono equiangular directo de lados pares, con ángulos internos θ °, los bordes alternos en movimiento pueden invertir todos los vértices en ángulos suplementarios , 180-θ °. Los polígonos equiangulares directos de lados impares solo se pueden invertir parcialmente, dejando una mezcla de ángulos suplementarios.
Cada polígono equiangular se puede ajustar en proporciones mediante esta construcción y aún preservar el estado equiangular.
Teorema del polígono equiangular
Para un p -gon equiangular convexo , cada ángulo interno es 180 (1-2 / p ) °; este es el teorema del polígono equiangular .
Para un polígono estrella p / q equiangular directo , densidad q , cada ángulo interno es 180 (1-2 q / p ) °, con 1 <2 q < p . Para w = mcd ( p , q )> 1, esto representa un polígono de estrella w -wound ( p / w ) / ( q / w ), que está degenerado para el caso regular.
Un cóncavo indirecto equiangular ( p r + p l ) -gon, con p r vértices de giro a la derecha y p l vértices de giro a la izquierda, tendrá ángulos internos de 180 (1-2 / | p r - p l |)) °, independientemente de su secuencia. Una estrella indirecta equiangular ( p r + p l ) -gon, con p r vértices de giro a la derecha y p l vértices de giro a la izquierda y q giros totales , tendrá ángulos internos de 180 (1-2 q / | p r - p l | )) °, independientemente de su secuencia. Un polígono equiangular con el mismo número de vueltas a la derecha e izquierda tiene cero vueltas totales y no tiene restricciones en sus ángulos.
Notación
A cada p -gon equiangular directo se le puede dar una notación < p > o < p / q >, como polígonos regulares { p } y polígonos de estrellas regulares { p / q }, que contienen p vértices y estrellas que tienen densidad q .
Los gones p < p > equiangulares convexos tienen ángulos internos de 180 (1-2 / p ) °, mientras que los polígonos equiangulares en estrella directa, < p / q >, tienen ángulos internos de 180 (1-2 q / p ) °.
A un p -gon equiangular indirecto cóncavo se le puede dar la notación < p -2 c >, con c vértices de contragiro. Por ejemplo, <6-2> es un hexágono con ángulos internos de 90 ° de la diferencia, <4>, 1 vértice contra-girado. A un p -gon equilátero indirecto de varias vueltas se le puede dar la notación < p -2 c / q > con c vértices de contragiro y q vueltas totales . Un polígono equiangular < p - p > es un p -gon con ángulos internos indefinidos θ, pero se puede expresar explícitamente como < p - p > θ .
Otras propiedades
El teorema de Viviani es válido para polígonos equiangulares: [2]
- La suma de las distancias desde un punto interior a los lados de un polígono equiangular no depende de la ubicación del punto y es invariante de ese polígono.
Un polígono cíclico es equiangular si y solo si los lados alternos son iguales (es decir, los lados 1, 3, 5, ... son iguales y los lados 2, 4, ... son iguales). Por tanto, si n es impar, un polígono cíclico es equiangular si y solo si es regular. [3]
Para primo p , cada p -gon equiangular de lados enteros es regular. Además, cada número entero de lados equiangular p k -gon tiene p -fold simetría rotacional . [4]
Un conjunto ordenado de longitudes laterales. da lugar a un n -gon equiangular si y solo si alguna de las dos condiciones equivalentes se cumple para el polinomio es igual a cero en el valor complejo es divisible por [5]
Polígonos equiangulares directos por lados
Los polígonos equiangulares directos pueden ser de simetrías regulares, isogonales o inferiores. Los ejemplos de < p / q > están agrupados en secciones por py subgrupos por densidad q .
Triángulos equiangulares
Los triángulos equiangulares deben ser convexos y tener ángulos internos de 60 °. Es un triángulo equilátero y un triángulo regular , <3> = {3}. El único grado de libertad es la longitud del borde.
Regular, {3}, r 6
Cuadriláteros equiangulares
Los cuadriláteros equiangulares directos tienen ángulos internos de 90 °. Los únicos cuadriláteros equiangulares son rectángulos , <4> y cuadrados , {4}.
Un cuadrilátero equiangular con longitudes de lado enteras se puede colocar en mosaico por cuadrados unitarios . [6]
Regular, {4}, r 8
Espirolateral 2 90 ° , p 4
Pentágonos equiangulares
Los pentágonos equiangulares directos , <5> y <5/2>, tienen ángulos internos de 108 ° y 36 ° respectivamente.
- Ángulo interno de 108 ° desde un pentágono equiangular , <5>
Los pentágonos equiangulares pueden ser regulares , tener simetría bilateral o no tener simetría.
Regular, r 10
Simetría bilateral, i 2
Sin simetría, un 1
- 36 ° ángulos internos de un pentagrama equiangular , <5/2>
Pentagrama regular , r 10
Irregular, d 2
Hexágonos equiangulares
Los hexágonos equiangulares directos , <6> y <6/2>, tienen ángulos internos de 120 ° y 60 ° respectivamente.
- Ángulos internos de 120 ° de un hexágono equiangular , <6>
Un hexágono equiangular con longitudes de lado enteras se puede colocar en mosaico por unidades de triángulos equiláteros . [6]
Regular, {6}, r 12
Spirolateral (1,2) 120 ° , p 6
Espirolateral (1… 3) 120 ° , g 2
Espirolateral (1,2,2) 120 ° , i 4
Espirolateral (1,2,2,2,1,3) 120 ° , p 2
- Ángulos internos de 60 ° de un triángulo equiangular de doble herida, <6/2>
Regular, degenerado, r 6
Spirolateral (1,3) 60 ° , p 6
Spirolateral (1,2) 60 ° , p 6
Spirolateral (2,3) 60 ° , p 6
Espirolateral (1,2,3,4,3,2) 60 ° , p 2
Heptágonos equiangulares
Los heptágonos equiangulares directos , <7>, <7/2> y <7/3> tienen ángulos internos de 128 4/7 °, 77 1/7 ° y 25 5/7 ° respectivamente.
- 128.57 ° ángulos internos de un heptágono equiangular , <7>
Regular, {7}, r 14
Irregular, i 2
- 77.14 ° ángulos internos de un heptagrama equiangular , <7/2>
Regular, r 14
Irregular, i 2
- 25,71 ° ángulos internos de un heptagrama equiangular , <7/3>
Regular, r 14
Irregular, i 2
Octágonos equiangulares
Los octágonos equiangulares directos , <8>, <8/2> y <8/3>, tienen ángulos internos de 135 °, 90 ° y 45 ° respectivamente.
- Ángulos internos de 135 ° de un octágono equiangular , <8>
Regular, r 16
Espirolateral (1,2) 135 ° , p 8
Espirolateral (1… 4) 135 ° , g 2
Cuadrado truncado desigual, p 2
- Ángulos internos de 90 ° de un cuadrado equiangular de doble herida , <8/2>
Regular degenerado, r 8
Espirolateral (1,2,2,3,3,2,2,1) 90 ° , d 2
Espirolateral (2,1,3,2,2,3,1,2) 90 ° , d 2
- Ángulos internos de 45 ° de un octagramo equiangular , <8/3>
Regular, r 16
Isógonal, p. 8
Isógonal, p. 8
Spirolateral , (1,2) 45 ° , p 8
Isógonal, p. 8
Espirolateral (1… 4) 45 ° , g 2
Enneagones equiangulares
Los eneágonos equiangulares directos , <9>, <9/2>, <9/3> y <9/4> tienen ángulos internos de 140 °, 100 °, 60 ° y 20 ° respectivamente.
- Ángulos internos de 140 ° de un eneágono equiangular <9>
Regular, r 18
Espirolateral (1,1,3) 140 ° , i 6
- Ángulos internos de 100 ° de un eneagrama equiangular , <9/2>
Regular {9/2}, pág. 9
Espirolateral (1,1,5) 100 ° , i 6
Espirolateral 3100 ° , g 3
- Ángulos internos de 60 ° de un triángulo equiangular de triple herida , <9/3>
Regular, degenerado, r 6
Irregular, un 1
Irregular, un 1
Irregular, un 1
- 20 ° ángulos internos de un eneagrama equiangular , <9/4>
Regular {9/4}, r 18
Espirolateral 3 20 ° , g 3
Irregular, i 2
Decagones equiangulares
Los decagones equiangulares directos , <10>, <10/2>, <10/3>, <10/4>, tienen ángulos internos de 144 °, 108 °, 72 ° y 36 ° respectivamente.
- Ángulos internos de 144 ° de un decágono equiangular <10>
Regular, r 20
Espirolateral (1,2) 144 ° , p 10
Espirolateral (1… 5) 144 ° , g 2
- Ángulos internos de 108 ° de un pentágono equiangular de doble herida <10/2>
Regular, degenerado
Espirolateral (1,2) 108 ° , p 10
Irregular, p 2
- Ángulos internos de 72 ° de un decagramo equiangular <10/3>
Regular {10/3}, r 20
Isógonal, p. 10
Espirolateral (1,2) 72 ° , p 10
Irregular, i 4
Espirolateral (1… 5) 72 ° , g 2
- Ángulos internos de 36 ° de un pentagrama de doble herida equiangular <10/4>
Regular, degenerado, r 10
Espirolateral (1,2) 36 ° , p. 10
Isógonal, p. 10
Isógonal, p. 10
Irregular, p 2
Irregular, p 2
Irregular, p 2
Endecágonos equiangulares
Los endecágonos equiangulares directos , <11>, <11/2>, <11/3>, <11/4> y <11/5> tienen 147 3/11 °, 114 6/11 °, 81 9/11 ° , 49 1/11 ° y 16 4/11 ° ángulos internos respectivamente.
- Ángulos internos de 147 ° de un endecágono equiangular , <11>
Regular, {11}, r 22
- 114 ° ángulos internos de un endecagrama equiangular , <11/2>
Regular {11/2}, r 22
- 81 ° ángulos internos de un endecagrama equiangular , <11/3>
Regular {11/3}, r 22
- 49 ° ángulos internos de un endecagrama equiangular , <11/4>
Regular {11/4}, r 22
- 16 ° ángulos internos de un endecagrama equiangular , <11/5>
Regular {11/5}, r 22
Dodecágonos equiangulares
Los dodecágonos equiangulares directos , <12>, <12/2>, <12/3>, <12/4> y <12/5> tienen ángulos internos de 150 °, 120 °, 90 °, 60 ° y 30 ° respectivamente.
- Ángulos internos de 150 ° desde un dodecágono equiangular , <12>
Las soluciones convexas con longitudes de borde enteras se pueden colocar en mosaico con bloques de patrón , cuadrados, triángulos equiláteros y rombos de 30 ° . [6]
Regular, {12}, r 24
Isógonal, p. 12
Espirolateral (1,2) 150 ° , p. 12
Espirolateral (1… 3) 150 ° , g 4
Espirolateral (1… 4) 150 ° , g 3
Espirolateral (1… 6) 150 ° , g 2
- Ángulos internos de 120 ° desde un hexágono equiangular de doble herida , <12/2>
Regular degenerado, r 12
Espirolateral , (1… 4) 120 ° , g 3
Irregular, d 2
Irregular, d 2
- Ángulos internos de 90 ° de un cuadrado equiangular de triple herida , <12/3>
Regular, degenerado, r 8
Espirolateral (1… 3) 90 ° , g 2
Espirolateral (2… 4) 90 ° , g 4
Espirolateral (1,1,3) 90 ° , i 8
Espirolateral (1,2,2) 90 ° , i 8
Espirolateral (1… 6) 90 ° , g 2
Irregular, un 1
- Ángulos internos de 60 ° de un triángulo equiangular de cuatro vueltas , <12/4>
Regular, degenerado, r 6
Spirolateral (1,3,5,1) 60 ° , p 6
Espirolateral (1… 4) 60 ° , g 3
Irregular, un 1
- Ángulos internos de 30 ° de un dodecagrama equiangular , <12/5>
Regular {12/5}, r 24
Isógonal, p. 12
Espirolateral (1,2) 30 ° , p 12
Espirolateral (1… 3) 30 ° , g 4
Espirolateral (1… 4) 30 ° , g 3
Espirolateral (1… 6) 30 ° , g 2
Tetradecágonos equiangulares
Tetradecágonos equiangulares directos , <14>, <14/2>, <14/3>, <14/4> y <14/5>, <14/6>, tienen 154 2/7 °, 128 4/7 °, 102 6/7 °, 77 1/7 °, 51 3/7 ° y 25 5/7 ° ángulos internos respectivamente.
- 154,28 ° ángulos internos de un tetradecágono equiangular , <14>
Regular {14}, r 28
Isógonal, t {7}, p. 14
- Ángulos internos de 128.57 ° de un heptágono regular equiangular de doble herida , <14/2>
Regular degenerado, r 14
Isógonal, t {7/2}, pág. 14
Spirolateral 2 128,57 °
- 102.85 ° ángulos internos de un tetradecagramo equiangular , <14/3>
Regular {14/3}, r 28
Isógonal t {7/3}, p. 14
- 77.14 ° ángulos internos de un doble herida equiangular heptagram <14/4>
Regular degenerado, r 14
Isogonal, p. 14
Isogonal, p. 14
Espirolateral 2 77,14 °
- 51,43 ° ángulos internos de un tetradecagramo equiangular , <14/5>
Regular {14/5}, r 28
Isogonal, p. 14
Isogonal, p. 14
- 25.71 ° ángulos internos de un doble herida equiangular heptagram , <14/6>
Regular degenerado, r 14
Isogonal, p. 14
Isogonal, p. 14
Isogonal, p. 14
Irregular, d 2
Pentadecágonos equiangulares
Los pentadecágonos equiangulares directos , <15>, <15/2>, <15/3>, <15/4>, <15/5>, <15/6> y <15/7> tienen 156 °, 132 °, 108 °, 84 °, 60 ° y 12 ° ángulos internos respectivamente.
- Ángulos internos de 156 ° de un pentadecágono equiangular, <15>
Regular, {15}
- Ángulos internos de 132 ° de un pentadecagrama equiangular , <15/2>
Regular, {15/2}
- Ángulos internos de 108 ° desde un pentágono equiangular de triple herida, <15/3>
Regular, degenerado
espirolateral (1… 3) 108 °
- Ángulos internos de 84 ° de un pentadecagrama equiangular, <15/4>
Regular, {15/4}
- Ángulos internos de 60 ° de un triángulo equiangular de 5 vueltas , <15/5>
Regular, degenerado
Irregular,
- Ángulos internos de 36 ° de un pentagrama de triple herida equiangular , <15/6>
Regular, degenerado
Irregular
Espirolateral (1… 4) 36 °
- Ángulos internos de 12 ° de un pentadecagrama equiangular, <15/7>
Regular, {15/7}
Hexadecágonos equiangulares
Los hexadecágonos equiangulares directos , <16>, <16/2>, <16/3>, <16/4>, <16/5>, <16/6> y <16/7> tienen 157,5 °, 135 °, 112.5 °, 90 °, 67.5 ° 45 ° y 22.5 ° ángulos internos respectivamente.
- 157,5 ° ángulos internos de un hexadecágono equiangular , <16>
Regular, {16}, r 32
Isógonal, t {8}, pág. 16
Espirolateral (1… 4) 157,5 ° , g 4
- Ángulos internos de 135 ° de un octágono equiangular de doble cuerda, <16/2>
Regular, degenerado, r 16
Irregular, p. 16
- Ángulos internos de 112,5 ° de un hexadecagrama equiangular , <16/3>
Regular, {16/3}, r 32
- Ángulos internos de 90 ° de un cuadrado equiangular de 4 bobinados, <16/4>
Regular, degenerado, r 16
Irregular
- 67,5 ° ángulos internos de un hexadecagrama equiangular , <16/5>
Regular, {16/5}, r 32
- Ángulos internos de 45 ° de un octagrama regular equiangular de doble herida , <16/6>
Regular, degenerado, r 32
espirolateral (1… 3) 45 ° , g 8
- 22.5 ° ángulos internos de un hexadecagrama equiangular , <16/7>
Regular, {16/7}, r 32
Isógonal, p. 16
Octadecágonos equiangulares
Octadecágonos equiangulares directos , <18}, <18/2>, <18/3>, <18/4>, <18/5>, <18/6>, <18/7> y <18/8> , tienen ángulos internos de 160 °, 140 °, 120 °, 100 °, 80 °, 60 °, 40 ° y 20 ° respectivamente.
- 160 ° ángulos internos de un equiangular octodecágono , <18>
Regular, {18}, r 36
Isógonal, t {9}, pág. 18
- Ángulos internos de 140 ° de un eneágono de doble herida equiangular , <18/2>
Regular, degenerado
Spirolateral 2 140 ° , p 18
- Ángulos internos de 120 ° de un hexágono equiangular de 3 vueltas <18/3>
Regular, degenerado
irregular
- Ángulos internos de 100 ° de un eneagrama de doble herida equiangular <18/4>
Regular, degenerado
Spirolateral 2 100 ° , g 3
- Ángulos internos de 80 ° de un octadecagrama equiangular {18/5}
Regular, {18/5}, r 36
- Ángulos internos de 60 ° de un triángulo equiangular de 6 vueltas <18/6>
Regular, degenerado
irregular
- Ángulos internos de 40 ° de un octadecagramo equiangular <18/7>
Regular, {18/7}, r 36
Isogonal, pág. 18
Isogonal, pág. 18
Isogonal, pág. 18
- Ángulos internos de 20 ° de un eneagrama de doble herida equiangular <18/8>
Regular, degenerado
Isogonal, pág. 18
Isogonal, pág. 18
Isogonal, pág. 18
Isogonal, pág. 18
Spirolateral 2 20 ° , p 18
Espirolateral 6 20 ° , g 3
Icoságonos equiangulares
Icoságono equiangular directo , <20>, <20/3>, <20/4>, <20/5>, <20/6>, <20/7> y <20/9>, tienen 162 °, 126 °, 108 °, 90 °, 72 °, 54 ° y 18 ° ángulos internos respectivamente.
- Ángulos internos de 162 ° de un icoságono equiangular , <20>
Regular, {20}, r 40
Spirolateral (1,3) 162 ° , p 20
- Ángulos internos de 144 ° de un decágono de doble herida equiangular , <20/2>
Regular, degenerado, r 10
Espirolateral (1… 4) 144 ° , g 5
- Ángulos internos de 126 ° de un icosagrama equiangular , <20/3>
Regular {20/3}, pág. 40
Spirolateral (1,3) 126 ° , p 20
- Ángulos internos de 108 ° desde un pentágono equiangular de 4 bobinas, <20/4>
Regular degenerado, r 40
Espirolateral (1… 4) 108 ° , g 5
Irregular, un 1
- Ángulos internos de 90 ° de un cuadrado equiangular de 5 bobinados , <20/5>
Regular degenerado, r 40
Espirolateral (1… 5) 90 ° , g 4
Espirolateral (1,2,3,2,1) 90 ° , i 8
- Ángulos internos de 72 ° de un decagrama de doble herida equiangular , <20/6>
Regular degenerado, r 20
Espirolateral (1,2) 72 ° , p 10
Espirolateral (1… 4) 72 ° , g 5
- 54 ° ángulos internos de un icosagrama equiangular , <20/7>
Regular {20/7}, r 40
Isogonal, p 20
Isogonal, p 20
Isogonal, p 20
- Ángulos internos de 36 ° de un pentagrama de cuerda cuádruple equiangular , <20/8>
Regular degenerado, r 10
Espirolateral (1… 4) 36 ° , g 5
irregular, un 1
- 18 ° ángulos internos de un icosagrama equiangular , <20/9>
Regular {20/9}, r 40
Isogonal, p 20
Isogonal, p 20
Isogonal, p 20
Isogonal, p 20
Ver también
- Espirolateral
Referencias
- ^ Marius Munteanu, Laura Munteanu,Matemáticas aplicadas de polígonos equiangulares racionales , Vol.4 No.10, octubre de 2013
- ^ Elias Abboud "Sobre el teorema de Viviani y sus extensiones" págs. 2, 11
- ^ De Villiers, Michael, "Polígonos circunscritos cíclicos y equiláteros equiangulares", Gaceta Matemática 95, marzo de 2011, 102-107.
- ^ McLean, K. Robin. "Una poderosa herramienta algebraica para polígonos equiangulares", Mathematical Gazette 88, noviembre de 2004, 513-514.
- ^ M. Bras-Amorós, M. Pujol: "Longitudes laterales de polígonos equiangulares (visto por un teórico de la codificación)", The American Mathematical Monthly , vol. 122, n. 5, págs. 476–478, mayo de 2015. ISSN 0002-9890 .
- ^ a b c d e Ball, Derek (2002), "Polígonos equiangulares", The Mathematical Gazette , 86 (507): 396–407, JSTOR 3621131.
- Williams, R. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design . Nueva York: Dover Publications , 1979. p. 32
enlaces externos
- Una propiedad de los polígonos equiangulares: ¿de qué se trata? una discusión del teorema de Viviani en Cut-the-knot .
- Weisstein, Eric W. "Polígono equiangular" . MathWorld .