Un diagrama ternario , gráfico ternario , parcela triángulo , parcela simplex , triángulo Gibbs o de Finetti diagrama es un barycentric trama en tres variables que suma a una constante. Representa gráficamente las proporciones de las tres variables como posiciones en un triángulo equilátero . Se utiliza en química física , petrología , mineralogía , metalurgia y otras ciencias físicas para mostrar las composiciones de sistemas compuestos por tres especies. En genética de poblaciones , a menudo se denominade Finetti . En teoría de juegos , a menudo se le llama diagrama simplex . [1] Los gráficos ternarios son herramientas para analizar datos de composición en el caso tridimensional.
En un diagrama ternario, los valores de las tres variables a , b , y c deben sumar una constante, K . Por lo general, esta constante se representa como 1.0 o 100%. Debido a que a + b + c = K para todas las sustancias que se grafican, una variable no es independiente de las demás, por lo que solo se deben conocer dos variables para encontrar el punto de una muestra en la gráfica: por ejemplo, c debe ser igual a K - a - b . Debido a que los tres valores numéricos no pueden variar de forma independiente (solo hay dos grados de libertad) , es posible graficar las combinaciones de las tres variables en solo dos dimensiones.
Lectura de valores en el diagrama ternario
La ventaja de utilizar un gráfico ternario para representar las composiciones químicas es que se pueden representar convenientemente tres variables en un gráfico bidimensional. Las gráficas ternarias también se pueden utilizar para crear diagramas de fase al delinear las regiones de composición en la gráfica donde existen diferentes fases.
Cada punto de una gráfica ternaria representa una composición diferente de los tres componentes.
Un paralelo a un lado del triángulo es el lugar geométrico de los puntos que representan sistemas con composición química constante en el componente situado en el vértice opuesto al lado.
Hay tres métodos comunes que se utilizan para determinar las proporciones de las tres especies en la composición.
El primer método es una estimación basada en la cuadrícula del diagrama de fase. La concentración de cada especie es del 100% (fase pura) en cada esquina del triángulo y del 0% en la línea opuesta. El porcentaje de una especie específica disminuye linealmente al aumentar la distancia desde esta esquina, como se ve en las figuras 3-8. Dibujando líneas paralelas a intervalos regulares entre la línea cero y la esquina (como se ve en las imágenes), se pueden establecer divisiones finas para una fácil estimación del contenido de una especie. Para un punto dado, la fracción de cada uno de los tres materiales en la composición puede ser determinada por el primero.
Para los diagramas de fase que no poseen líneas de cuadrícula, la forma más fácil de determinar la composición es establecer la altitud del triángulo al 100% y determinar las distancias más cortas desde el punto de interés a cada uno de los tres lados. Según el teorema de Viviani , las distancias (las proporciones de las distancias a la altura total del 100%) dan el contenido de cada una de las especies, como se muestra en la figura 1.
El tercer método se basa en un mayor número de medidas, pero no requiere el dibujo de líneas perpendiculares. Se dibujan líneas rectas desde cada esquina, a través del punto de interés, hasta el lado opuesto del triángulo. Las longitudes de estas líneas, así como las longitudes de los segmentos entre el punto y los lados correspondientes, se miden individualmente. Luego, las razones se pueden determinar dividiendo estos segmentos por la línea correspondiente completa como se muestra en la figura 2. (La suma de las razones debe sumar 1).
Figura 1. Método de altitud
Figura 2. Método de intersección
Figura 3. Un diagrama ternario de ejemplo, sin ningún punto representado.
Figura 4. Un diagrama ternario de ejemplo, que muestra incrementos a lo largo del primer eje.
Figura 5. Un diagrama ternario de ejemplo, que muestra incrementos a lo largo del segundo eje.
Figura 6. Un diagrama ternario de ejemplo, que muestra incrementos a lo largo del tercer eje.
Figura 7. Parcela ternaria vacía
Figura 8. Indicación de cómo funcionan los tres ejes.
Derivación de coordenadas cartesianas
La figura (1) muestra una proyección oblicua del punto P ( un , b , c ) en un 3-dimensional espacio cartesiano con ejes a , b y c , respectivamente.
Si a + b + c = K (una constante positiva), P está restringido a un plano que contiene A ( K , 0,0) , B (0, K , 0) y C (0,0, K ) . Si un , b y c cada uno no puede ser negativo, P se limita a la triángulo delimitado por A , B y C , como en (2).
En (3), los ejes se rotan para dar una vista isométrica . El triángulo, visto de frente, parece equilátero .
En (4), las distancias de P desde las líneas BC , AC y AB se indican mediante a ′ , b ′ y c ′ , respectivamente.
Para cualquier línea l = s + t n̂ en forma vectorial ( n̂ es un vector unitario) y un punto p , la distancia perpendicular de p a l es
En este caso, el punto P está en
La línea BC tiene
Usando la fórmula de la distancia perpendicular,
Sustituyendo K = a + b + c ,
Un cálculo similar en las líneas AC y AB da
Esto muestra que la distancia del punto de las líneas respectivas es linealmente proporcional a los valores originales una , b y c . [2]
Trazar una parcela ternaria
Las coordenadas cartesianas son útiles para trazar puntos en el triángulo. Considere un diagrama ternario equilátero donde un = 100% se sitúa en ( x , y ) = (0,0) y b = 100% en (1,0) . Entonces c = 100% esy el triple ( a , b , c ) es
Ejemplo
Este ejemplo muestra cómo funciona esto para un conjunto hipotético de tres muestras de suelo:
Muestra Arcilla Limo Arena Notas Muestra 1 50% 20% 30% Debido a que la arcilla y el limo juntos constituyen el 70% de esta muestra, la proporción de arena debe ser del 30% para que los componentes sumen el 100%. Muestra 2 10% 60% 30% La proporción de arena es del 30% como en la Muestra 1, pero a medida que la proporción de limo aumenta en un 40%, la proporción de arcilla disminuye en consecuencia. Muestra 3 10% 30% 60% Esta muestra tiene la misma proporción de arcilla que la Muestra 2, pero las proporciones de limo y arena se intercambian; la trama se refleja sobre su eje vertical.
Trazando los puntos
Muestra de trazado 1 (1): Encuentre la línea de arcilla del 50%
Trazado de la muestra 1 (2): Encuentre la línea de limo del 20%
Muestra de trazado 1 (3): la intersección coincide con la línea de arena del 30%, ya que depende matemáticamente de las dos primeras
Graficar todas las muestras
Ver también
- Propiedad molar aparente
- Teorema de viviani
- Coordenadas baricéntricas (matemáticas)
- Datos composicionales
- Lista de software de gráficos de información
- Tipos de parcelas ternarias:
- Diagrama de cromaticidad
- diagrama de Finetti
- Diagrama de inflamabilidad
- Gráfico de cationes de Jensen
- Diagrama de Piper , utilizado en hidroquímica
- Diagrama QFL
- Diagrama QAPF
- Diagrama de clasificación para roca ultramáfica
- Triángulo del proyecto
- Trilema
Referencias
- ^ Karl Tuyls, "Un análisis evolutivo de la teoría del juego de las estrategias de póquer", Entertainment Computing enero de 2009 doi : 10.1016 / j.entcom.2009.09.002 , p. 9
- ^ Vaughan, Will (5 de septiembre de 2010). "Parcelas ternarias" . Archivado desde el original el 20 de diciembre de 2010 . Consultado el 7 de septiembre de 2010 .
enlaces externos
- "Plantilla de Excel para diagramas ternarios" . serc.carleton.edu . Centro de recursos para la educación científica (SERC) Carleton College . Consultado el 14 de mayo de 2020 .
- "Tri-plot: software de trazado de diagrama ternario" . www.lboro.ac.uk . Universidad de Loughborough - Departamento de Geografía / Recursos Gateway inicio> Tri-plot . Consultado el 14 de mayo de 2020 .
- "Generador de gráficos ternarios: cree rápidamente diagramas ternarios en línea" . www.ternaryplot.com . Consultado el 14 de mayo de 2020 .
- Holanda, Steven (2016). "Análisis de datos en las geociencias - Diagramas ternarios desarrollados en el lenguaje R" . strata.uga.edu . Universidad de Georgia . Consultado el 14 de mayo de 2020 .