El perfil de Voigt (llamado así por Woldemar Voigt ) es una distribución de probabilidad dada por una convolución de una distribución de Cauchy-Lorentz y una distribución de Gauss . A menudo se utiliza para analizar datos de espectroscopia o difracción .
Función de densidad de probabilidad Gráfico del perfil de Voigt centrado para cuatro casos. Cada caja tiene un ancho completo a la mitad del máximo de casi 3.6. Los perfiles negro y rojo son los casos límite de los perfiles gaussiano (γ = 0) y lorentziano (σ = 0) respectivamente. | |||
Función de distribución acumulativa | |||
Parámetros | |||
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Apoyo | |||
CDF | (complicado - ver texto) | ||
Significar | (no definida) | ||
Mediana | |||
Modo | |||
Diferencia | (no definida) | ||
Oblicuidad | (no definida) | ||
Ex. curtosis | (no definida) | ||
MGF | (no definida) | ||
CF |
Definición
Sin pérdida de generalidad, podemos considerar solo perfiles centrados, que tienen un pico en cero. El perfil de Voigt es entonces
donde x es el desplazamiento desde el centro de la línea, es el perfil gaussiano centrado:
y es el perfil lorentziano centrado:
La integral definitoria se puede evaluar como:
donde Re [ w ( z )] es la parte real de la función Faddeeva evaluada para
En los casos limitantes de y luego simplifica a y , respectivamente.
Historia y aplicaciones
En espectroscopia, un perfil de Voigt resulta de la convolución de dos mecanismos de ensanchamiento, uno de los cuales por sí solo produciría un perfil gaussiano (normalmente, como resultado del ensanchamiento Doppler ), y el otro produciría un perfil lorentziano. Los perfiles de Voigt son comunes en muchas ramas de la espectroscopia y la difracción . Debido al costo de calcular la función de Faddeeva , el perfil de Voigt a veces se aproxima utilizando un perfil pseudo-Voigt.
Propiedades
El perfil de Voigt está normalizado:
ya que es una convolución de perfiles normalizados. El perfil de Lorentz no tiene momentos (aparte del cero), por lo que la función generadora de momentos para la distribución de Cauchy no está definida. Se deduce que el perfil de Voigt tampoco tendrá una función generadora de momento, pero la función característica para la distribución de Cauchy está bien definida, al igual que la función característica para la distribución normal . La función característica para el perfil de Voigt (centrado) será entonces el producto de los dos:
Dado que las distribuciones normales y las distribuciones de Cauchy son distribuciones estables , cada una de ellas está cerrada por convolución (hasta el cambio de escala), y se deduce que las distribuciones de Voigt también están cerradas por convolución.
Función de distribución acumulativa
Usando la definición anterior para z , la función de distribución acumulativa (CDF) se puede encontrar de la siguiente manera:
Sustituyendo la definición de la función de Faddeeva ( función de error complejo escalado ) se obtiene la integral indefinida:
que puede resolverse para ceder
dónde es una función hipergeométrica . Para que la función se acerque a cero cuando x se acerca al infinito negativo (como debe hacer el CDF), se debe agregar una constante de integración de 1/2. Esto da para el CDF de Voigt:
El perfil de Voigt no centrado
Si el perfil gaussiano está centrado en y el perfil de Lorentz se centra en , la convolución se centra en y la función característica es
La moda y la mediana están ubicadas en .
Perfil derivado
Los perfiles de la primera y segunda derivada se pueden expresar en términos de la función Faddeeva de la siguiente manera:
utilizando la definición anterior para z .
Funciones de Voigt
Las funciones de Voigt [1] U , V y H (a veces llamadas función de ampliación de línea ) se definen por
dónde
erfc es la función de error complementaria y w ( z ) es la función de Faddeeva .
Relación con el perfil de Voigt
con
y
Aproximaciones numéricas
Función Tepper-García
La función Tepper-García , que lleva el nombre del astrofísico germano-mexicano Thor Tepper-García , es una combinación de una función exponencial y funciones racionales que se aproxima a la función de ensanchamiento de línea.en una amplia gama de sus parámetros. [2] Se obtiene de una expansión en serie de potencias truncada de la función de ensanchamiento de línea exacta.
En su forma más eficiente desde el punto de vista computacional, la función de Tepper-García se puede expresar como
dónde , , y .
Por lo tanto, la función de ensanchamiento de línea puede verse, en primer orden, como una función gaussiana pura más un factor de corrección que depende linealmente de las propiedades microscópicas del medio absorbente (codificado en ); sin embargo, como resultado del truncamiento temprano en la expansión de la serie, el error en la aproximación sigue siendo de orden, es decir . Esta aproximación tiene una precisión relativa de
en todo el rango de longitud de onda de , siempre que . Además de su alta precisión, la funciónes fácil de implementar y computacionalmente rápido. Es ampliamente utilizado en el campo del análisis de líneas de absorción de cuásares. [3]
Aproximación pseudo-Voigt
El perfil pseudo-Voigt (o función pseudo-Voigt ) es una aproximación del perfil Voigt V ( x ) usando una combinación lineal de una curva gaussiana G ( x ) y una curva Lorentziana L ( x ) en lugar de su convolución .
La función pseudo-Voigt se usa a menudo para cálculos de formas de líneas espectrales experimentales .
La definición matemática del perfil pseudo-Voigt normalizado viene dada por
- con .
es una función del parámetro de ancho completo a la mitad del máximo (FWHM).
Hay varias opciones posibles para parámetro. [4] [5] [6] [7] Una fórmula simple, con una precisión del 1%, es [8] [9]
donde ahora, es una función de Lorentz (), Gaussiano () y total () Parámetros de ancho completo a la mitad del máximo (FWHM). El total de FWHM () el parámetro se describe mediante:
El ancho del perfil de Voigt
El ancho completo a la mitad del máximo (FWHM) del perfil de Voigt se puede encontrar a partir de los anchos de los anchos gaussianos y lorentzianos asociados. El FWHM del perfil gaussiano es
El FWHM del perfil lorentziano es
Una aproximación aproximada de la relación entre los anchos de los perfiles de Voigt, Gaussiano y Lorentziano es:
Esta aproximación es exactamente correcta para un gaussiano puro.
Una mejor aproximación con una precisión del 0,02% viene dada por [10]
Esta aproximación es exactamente correcta para un gaussiano puro, pero tiene un error de aproximadamente 0,000305% para un perfil lorentziano puro.
Referencias
- ^ Temme, NM (2010), "Función de Voigt" , en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
- ^ Tepper-García, Thorsten (2006). "Ajuste de perfil de Voigt a líneas de absorción de cuásar: una aproximación analítica a la función de Voigt-Hjerting". Avisos mensuales de la Royal Astronomical Society . 369 (4): 2025-2035. doi : 10.1111 / j.1365-2966.2006.10450.x .
- ^ Lista de citas encontradas en SAO / NASA Astrophysics Data System (ADS): https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/2006MNRAS.369.2025T/citations
- ^ Wertheim GK, Butler MA, West KW, Buchanan DN (1974). "Determinación del contenido gaussiano y lorentziano de formas de líneas experimentales". Revisión de instrumentos científicos . 45 (11): 1369-1371. Código Bibliográfico : 1974RScI ... 45.1369W . doi : 10.1063 / 1.1686503 .
- ^ Sánchez-Bajo, F .; FL Cumbrera (agosto de 1997). "El uso de la función Pseudo-Voigt en el método de varianza del análisis de ampliación de línea de rayos X" . Revista de Cristalografía Aplicada . 30 (4): 427–430. doi : 10.1107 / S0021889896015464 .
- ^ Liu Y, Lin J, Huang G, Guo Y, Duan C (2001). "Aproximación analítica empírica simple al perfil de Voigt". JOSA B . 18 (5): 666–672. Código Bibliográfico : 2001JOSAB..18..666L . doi : 10.1364 / josab.18.000666 .
- ^ Di Rocco HO, Cruzado A (2012). "El perfil de Voigt como una suma de funciones gaussianas y lorentzianas, cuando el coeficiente de peso depende sólo de la relación de anchos" . Acta Physica Polonica A . 122 (4): 666–669. doi : 10.12693 / APhysPolA.122.666 . ISSN 0587-4246 .
- ^ Ida T, Ando M, Toraya H (2000). "Función extendida de pseudo-Voigt para aproximar el perfil de Voigt" . Revista de Cristalografía Aplicada . 33 (6): 1311-1316. doi : 10.1107 / s0021889800010219 . S2CID 55372305 .
- ^ P. Thompson, DE Cox y JB Hastings (1987). "Refinamiento de Rietveld de los datos de rayos X del sincrotrón Debye-Scherrer de Al 2 O 3 " . Revista de Cristalografía Aplicada . 20 (2): 79–83. doi : 10.1107 / S0021889887087090 .
- ^ Olivero, JJ; RL Longbothum (febrero de 1977). "Ajustes empíricos al ancho de línea de Voigt: una breve revisión". Revista de espectroscopia cuantitativa y transferencia radiativa . 17 (2): 233-236. Código bibliográfico : 1977JQSRT..17..233O . doi : 10.1016 / 0022-4073 (77) 90161-3 . ISSN 0022-4073 .
enlaces externos
- http://jugit.fz-juelich.de/mlz/libcerf , biblioteca C numérica para funciones de error complejas, proporciona una función voigt (x, sigma, gamma) con aproximadamente 13-14 dígitos de precisión.
- The original article is : Voigt, Woldemar, 1912, ''Das Gesetz der Intensitätsverteilung innerhalb der Linien eines Gasspektrums'', Sitzungsbericht der Bayerischen Akademie der Wissenschaften, 25, 603 (see also: http://publikationen.badw.de/de/003395768)