La ecuación de McKendrick-von Foerster es una ecuación diferencial parcial lineal de primer orden que se encuentra en varias áreas de la biología matemática , por ejemplo, modelos demográficos y de proliferación celular ; se aplica cuando la estructura por edades es una característica importante del modelo matemático . [1] Fue presentado por primera vez por Anderson Gray McKendrick en 1926 como un límite determinista de los modelos de celosía aplicados a la epidemiología, y posteriormente de forma independiente en 1959 por el profesor de biofísica Heinz von Foerster para describir los ciclos celulares.
Fórmula matemática
La fórmula matemática se puede derivar de los primeros principios. Se lee:
donde la densidad de población n ( t , un ) es una función de la edad de un y el tiempo t , y m ( un ) es la función de muerte.
Cuando m ( a ) = 0, tenemos: [1]
Relata que una población envejece, y ese hecho es el único que influye en el cambio en la densidad de población; el signo negativo indica que el tiempo fluye en una sola dirección, que no hay nacimiento y la población se va a extinguir.
Derivación
Supongamos que para un cambio en el tiempo y cambio de edad , la densidad de poblacion es:
Solucion analitica
La ecuación de von Foerster es una ecuación de continuidad ; se puede resolver utilizando el método de características . [1] Otra forma es por solución de similitud ; y un tercero es un enfoque numérico como las diferencias finitas .
Para obtener la solución, se deben agregar las siguientes condiciones de contorno:
que establece que los nacimientos iniciales deben conservarse (ver la ecuación de Sharpe-Lotka-McKendrick para lo contrario), y que:
que establece que se debe dar la población inicial; luego evolucionará de acuerdo con la ecuación diferencial parcial.
Ecuaciones similares
En Sebastian Aniţa, Viorel Arnăutu, Vincenzo Capasso. Una Introducción a los Problemas de Control Óptimo en Ciencias de la Vida y Economía (Birkhäuser. 2011), esta ecuación aparece como un caso especial de la ecuación de Sharpe-Lotka-McKendrick ; en este último hay flujo de entrada, y las matemáticas se basan en la derivada direccional . La ecuación de McKendrick aparece ampliamente en el contexto de la biología celular como un buen enfoque para modelar el ciclo celular eucariota. [2]
Ver también
Referencias
- ^ a b c MURRAY, JD Biología matemática: una introducción. tercera edicion. Matemática Aplicada Interdisciplinaria. Biología Matemática. Primavera: 2002.
- ↑ Gavagnin, Enrico (14 de octubre de 018). "La velocidad de invasión de los modelos de migración celular con distribuciones de tiempo de ciclo celular realistas". Revista de Biología Teórica . 79 (1): 91–99. arXiv : 1806.03140 . doi : 10.1016 / j.jtbi.2018.09.010 . PMID 30219568 .