Tetración

En matemáticas , la tetración (o hiper-4 ) es una operación basada en exponenciación iterada o repetida . Es el siguiente hyperoperation después de exponenciación , pero antes de pentation . La palabra fue acuñada por Reuben Louis Goodstein de tetra- (cuatro) e iteración .

Bajo la definición como exponenciación repetida, la notación de Rudy Rucker significa , donde n copias de a se iteran mediante exponenciación, de derecha a izquierda, es decir, la aplicación de tiempos de exponenciación . n se llama la "altura" de la función, mientras que a se llama la "base", análoga a la exponenciación. Se leería como "la n- ésima tetración de a ".${\ Displaystyle {^ {n} a}}$${\displaystyle {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}}$${\displaystyle n-1}$

Las dos inversas de la tetración se denominan superraíz y superlogaritmo , análogas a la raíz enésima y las funciones logarítmicas. Ninguna de las tres funciones es elemental .

Las primeras cuatro hiperoperaciones se muestran aquí, y la tetración se considera la cuarta de la serie. La sucesión de operaciones unarias , definida como , se considera la operación cero.${\displaystyle a'=a+1}$

La sucesión, ( a ′ = a + 1) , es la operación más básica; mientras que la suma ( a + n ) es una operación primaria, para la suma de números naturales se puede pensar como una sucesión encadenada de n sucesores de a ; La multiplicación ( a  ×  n ) también es una operación primaria, aunque para los números naturales se puede considerar análogamente como una suma encadenada que implica n números de a . La exponenciación se puede considerar como una multiplicación encadenada que incluye n números de a y tetración (${\displaystyle ^{n}a\!}$) como una potencia encadenada que involucra n números a . Cada una de las operaciones anteriores se definen iterando la anterior; ^[1] sin embargo, a diferencia de las operaciones anteriores, la tetración no es una función elemental .

El parámetro a se denomina base , mientras que el parámetro n puede denominarse altura . En la definición original de tetración, el parámetro de altura debe ser un número natural; por ejemplo, sería ilógico decir "tres elevado a sí mismo cinco veces negativo" o "cuatro elevado a sí mismo la mitad de un tiempo". Sin embargo, así como la suma, la multiplicación y la exponenciación pueden definirse de manera que permitan extensiones a números reales y complejos, se han realizado varios intentos para generalizar la tetración a números negativos, números reales y números complejos. Una de esas formas de hacerlo es utilizar una definición recursiva de tetración; para cualquier entero positivo real y no negativo${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle n\geq 0}$, podemos definir de forma recursiva como: ^[1]${\displaystyle \,\!{^{n}a}}$

Coloración del dominio de la tetración holomórfica , con el tono que representa el argumento de la función y el brillo que representa la magnitud${\displaystyle {}^{z}e}$

${\displaystyle {}^{n}x}$, para n = 2, 3, 4, ... , mostrando convergencia al exponencial infinitamente iterado entre los dos puntos

Tetración por período

Tetración por escape

${\displaystyle \textstyle \lim _{n\rightarrow \infty }{}^{n}x}$ de las convergencias exponenciales infinitamente iteradas para las bases ${\displaystyle \textstyle \left(e^{-1}\right)^{e}\leq x\leq e^{\left(e^{-1}\right)}}$

La función en el plano complejo, que muestra la función exponencial iterada infinitamente de valor real (curva negra)${\displaystyle \left|{\frac {\mathrm {W} (-\ln {z})}{-\ln {z}}}\right|}$

${\displaystyle \,{}^{x}e}$ usando aproximación lineal

Una comparación de las aproximaciones lineales y cuadráticas (en rojo y azul respectivamente) de la función , desde x = −2 hasta x = 2${\displaystyle ^{x}0.5}$

Dibujo de la extensión analítica de la tetración al plano complejo. Los niveles y los niveles se muestran con curvas gruesas.${\displaystyle f=F(x+{\rm {i}}y)}$${\displaystyle |f|=1,e^{\pm 1},e^{\pm 2},\ldots }$${\displaystyle \arg(f)=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$

La gráfica ${\displaystyle y={\sqrt {x}}_{s}}$

La gráfica ${\displaystyle y={\sqrt[{3}]{x}}_{s}}$