En geometría , un plano de Moufang , llamado así por Ruth Moufang , es un tipo de plano proyectivo , más específicamente es un tipo especial de plano de traslación . Un plano de traslación es un plano proyectivo que tiene una línea de traslación , es decir, una línea con la propiedad de que el grupo de automorfismos que fija cada punto de la línea actúa transitivamente sobre los puntos del plano y no sobre la línea. [1] Un plano de traslación es Moufang si cada línea del plano es una línea de traslación. [2]
Caracterizaciones
Un plano de Moufang también se puede describir como un plano proyectivo en el que se cumple el pequeño teorema de Desargues . [3] Este teorema establece que una forma restringida del teorema de Desargues es válida para todas las líneas del plano. [4] Cada avión desarguesiano es un avión Moufang. [5]
En términos algebraicos, un plano proyectivo sobre cualquier anillo de división alternativo es un plano de Moufang, [6] y esto da una correspondencia 1: 1 entre clases de isomorfismo de anillos de división alternativos y planos de Moufang.
Como consecuencia del teorema algebraico de Artin-Zorn , que cada anillo de división alternativo finito es un campo, cada plano finito de Moufang es desarguesiano, pero algunos planos infinitos de Moufang son planos no desarguesianos . En particular, el plano de Cayley , un plano proyectivo infinito de Moufang sobre los octoniones , es uno de ellos porque los octoniones no forman un anillo de división. [7]
Propiedades
Las siguientes condiciones en un plano proyectivo P son equivalentes: [8]
- P es un avión de Moufang.
- El grupo de automorfismos que fijan todos los puntos de una línea determinada actúa transitivamente sobre los puntos que no están en la línea.
- Algún anillo ternario del plano es un anillo de división alternativo.
- P es isomorfo al plano proyectivo sobre un anillo de división alternativo.
Además, en un avión de Moufang:
- El grupo de automorfismos actúa transitivamente sobre cuadrángulos. [9] [10]
- Dos anillos ternarios cualesquiera del plano son isomorfos.
Notas
- ^ Es decir, el grupo actúa transitivamente sobre el plano afín formado al eliminar esta línea y todos sus puntos del plano proyectivo.
- ^ Hughes y Piper 1973 , p. 101
- ^ Pickert 1975 , p. 186
- ^ Esta versión restringida establece que si dos triángulos son en perspectiva desde un punto en una línea dada, y dos pares de lados correspondientes también se encuentran en esta línea, entonces el tercer par de lados correspondientes también se encuentran en la línea.
- ^ Hughes y Piper 1973 , p. 153
- ^ Hughes y Piper 1973 , p. 139
- ^ Weibel, Charles (2007), "Encuesta de planos no desarguesianos" , Avisos de la AMS , 54 (10): 1294-1303
- ^ Aviones de H. Klein Moufang
- ^ Stevenson 1972 , p. 392 Stevenson se refiere a los aviones Moufang como aviones alternativos .
- ^ Si transitivo se reemplaza por bruscamente transitivo, el plano es papiano.
Referencias
Otras lecturas
- Tetas, Jacques ; Weiss, Richard M. (2002), polígonos de Moufang , Springer Monographs in Mathematics, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-43714-7, Señor 1938841