En teoría de números , un número primo de Wagstaff es un número primo de la forma
Lleva el nombre de | Samuel S. Wagstaff, Jr. |
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Año de publicación | 1989 [1] |
Autor de la publicación | Bateman, PT , Selfridge, JL , Wagstaff Jr., SS |
No. de términos conocidos | 43 |
Primeros términos | 3 , 11 , 43 , 683 |
Término más grande conocido | (2 15135397 +1) / 3 |
Índice OEIS |
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donde p es un primo impar . Los números primos de Wagstaff llevan el nombre del matemático Samuel S. Wagstaff Jr .; las páginas principales dan crédito a François Morain por nombrarlas en una conferencia en la conferencia Eurocrypt de 1990. Los números primos de Wagstaff aparecen en la conjetura de New Mersenne y tienen aplicaciones en criptografía .
Ejemplos de
Los primeros tres números primos de Wagstaff son 3, 11 y 43 porque
Primos Wagstaff conocidos
Los primeros números primos de Wagstaff son:
- 3, 11, 43, 683, 2731, 43691, 174763, 2796203, 715827883, 2932031007403, 768614336404564651,… (secuencia A000979 en la OEIS )
A junio de 2021[actualizar], los exponentes conocidos que producen números primos de Wagstaff o números primos probables son:
- 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 79, 101, 127, 167, 191, 199, 313, 347, 701, 1709, 2617, 3539, 5807, 10501, 10691, 11279, 12391, 14479, 42737, 83339, [2] (todos los números primos de Wagstaff conocidos)
- 95369, 117239, 127031, 138937, 141079, 267017, 269987, 374321, 986191, 4031399,…, 13347311, 13372531, 15135397 (números primos probables de Wagstaff) (secuencia A000978 en la OEIS )
En febrero de 2010, Tony Reix descubrió el probable prime de Wagstaff:
que tiene 1.213.572 dígitos y fue el tercer número primo probable más grande jamás encontrado en esta fecha. [3]
En septiembre de 2013, Ryan Propper anunció el descubrimiento de dos números primos probables adicionales de Wagstaff: [4]
y
Cada uno es un número primo probable con un poco más de 4 millones de dígitos decimales. Actualmente no se sabe si hay exponentes entre 4031399 y 13347311 que produzcan números primos probables de Wagstaff.
En junio de 2021, Ryan Propper anunció el descubrimiento del probable principal de Wagstaff: [5]
que es un número primo probable con un poco más de 4.5 millones de dígitos decimales.
Tenga en cuenta que cuando p es un número primo de Wagstaff, no necesita ser primo, el primer contraejemplo es p = 683, y se conjetura que si p es un primo de Wagstaff yp> 43, entonces es compuesto.
Prueba de primordialidad
Se ha probado o refutado la primacía para los valores de p hasta 83339. Aquellos con p > 83339 son números primos probables a abril de 2015[árbitro]. La prueba de primalidad para p = 42737 fue realizada por François Morain en 2007 con una implementación ECPP distribuida que se ejecuta en varias redes de estaciones de trabajo durante 743 GHz-días en un procesador Opteron . [6] Fue la tercera prueba de primalidad más grande realizada por ECPP desde su descubrimiento hasta marzo de 2009. [7]
Actualmente, el algoritmo conocido más rápido para probar la primordialidad de los números de Wagstaff es ECPP.
La herramienta LLR (Lucas-Lehmer-Riesel) de Jean Penné se utiliza para encontrar números primos probables de Wagstaff mediante la prueba Vrba-Reix. Es una prueba PRP basada en las propiedades de un ciclo del dígrafo bajo x ^ 2-2 módulo un número de Wagstaff.
Generalizaciones
Es natural considerar [8] de manera más general números de la forma
donde la base . Desde hace extraño tenemos
estos números se denominan "base de números de Wagstaff ", y a veces se considera [9] un caso de números de repetición con base negativa.
Para algunos valores específicos de , todas (con una posible excepción para muy pequeños ) son compuestos debido a una factorización "algebraica". Específicamente, sitiene la forma de una potencia perfecta con exponente impar (como 8, 27, 32, 64, 125, 128, 216, 243, 343, 512, 729, 1000, etc. (secuencia A070265 en el OEIS )), entonces el hecho que, con impar, es divisible por muestra que es divisible por en estos casos especiales. Otro caso es, con k entero positivo (como 4, 64, 324, 1024, 2500, 5184, etc. (secuencia A141046 en el OEIS )), donde tenemos la factorización aurifeuilleana .
Sin embargo cuando no admite una factorización algebraica, se conjetura que un número infinito de los valores hacen Prime, note todo son primos impares.
Para , los números primos tienen la siguiente apariencia: 9091, 909091, 909090909090909091, 909090909090909090909090909091,… (secuencia A097209 en la OEIS ), y estos n son: 5, 7, 19, 31, 53, 67, 293, 641, 2137, 3011, 268207, ... (secuencia A001562 en la OEIS ).
Ver repunit para la lista de la base de primos de Wagstaff generalizada. (Base de primos generalizados de Wagstaff son primos de repunit generalizados base con extraño )
Mínimo primo p tal quees primo son (comienza con n = 2, 0 si no existe tal p )
- 3, 3, 3, 5, 3, 3, 0, 3, 5, 5, 5, 3, 7, 3, 3, 7, 3, 17, 5, 3, 3, 11, 7, 3, 11, 0, 3, 7, 139, 109, 0, 5, 3, 11, 31, 5, 5, 3, 53, 17, 3, 5, 7, 103, 7, 5, 5, 7, 1153, 3, 7, 21943, 7, 3, 37, 53, 3, 17, 3, 7, 11, 3, 0, 19, 7, 3, 757, 11, 3, 5, 3, ... (secuencia A084742 en el OEIS )
Mínimo base b tal quees primo son (comienza con n = 2)
Referencias
- ^ Bateman, PT ; Selfridge, JL ; Wagstaff, Jr., SS (1989). "La nueva conjetura de Mersenne". American Mathematical Monthly . 96 : 125-128. doi : 10.2307 / 2323195 . JSTOR 2323195 .
- ^ http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=67
- ^ Registros PRP
- ^ Nuevos exponentes de PRP de Wagstaff , mersenneforum.org
- ^ Anuncio de un nuevo PRP de Wagstaff , mersenneforum.org
- ^ Comentario de François Morain, The Prime Database: (2 42737 + 1) / 3 en The Prime Pages .
- ^ Caldwell, Chris, "La lista de los veinte: Curva Elíptica Primality Prueba" , el primer Páginas
- ^ Dubner, H. y Granlund, T .: Primes of the Form (b n + 1) / (b + 1) , Journal of Integer Sequences , vol. 3 (2000)
- ↑ Repunit , Wolfram MathWorld (Eric W. Weisstein)
enlaces externos
- John Renze y Eric W. Weisstein . "Wagstaff prime" . MathWorld .
- Chris Caldwell, The Top Twenty: Wagstaff en The Prime Pages .
- Renaud Lifchitz, "Una prueba de primos probables eficiente para números de la forma (2 p + 1) / 3" .
- Tony Reix, "Tres conjeturas sobre las pruebas de primalidad para números de Mersenne, Wagstaff y Fermat basadas en ciclos del Digraph bajo x 2 - 2 módulo a primo" .
- Lista de repunits en base -50 a 50
- Lista de primos Wagstaff base 2 a 160