En teoría de números , una factorización aurifeuilleana , llamada así por Léon-François-Antoine Aurifeuille , es un tipo especial de factorización algebraica que proviene de factorizaciones no triviales de polinomios ciclotómicos sobre los números enteros . [1] Aunque los polinomios ciclotómicos en sí mismos son irreducibles sobre los números enteros, cuando se restringen a valores enteros particulares, pueden tener una factorización algebraica, como en los ejemplos siguientes.
Ejemplos de
- Números del formulario tener la siguiente factorización aurifeuilleana (ver también la identidad de Sophie Germain ):
- Configuración y , se obtiene la siguiente factorización aurifeuilleana de : [2]
- Números del formulario o , dónde con cuadrado libre , tener factorización aurifeuilleana si y solo si se cumple una de las siguientes condiciones:
- y
- y
- Por lo tanto, cuando con cuadrado libre, y es congruente con modulo , Entonces sí es congruente con 1 mod 4, tener factorización aurifeuillean, de lo contrario, tener factorización aurifeuillean.
- Cuando el número tiene una forma particular (la expresión exacta varía con la base), se puede usar la factorización Aurifeuilliana, que da un producto de dos o tres números. Las siguientes ecuaciones dan factores de Aurifeuillian para las bases del proyecto de Cunningham como un producto de F , L y M : [3]
- Si dejamos L = C - D , M = C + D , las factorizaciones Aurifeuillian para b n ± 1 de la forma F * ( C - D ) * ( C + D ) = F * L * M con las bases 2 ≤ b ≤ 24 ( potencias perfectas excluidas, ya que una potencia de b n también es una potencia de b ) son:
(para los coeficientes de los polinomios para todas las bases libres de cuadrados hasta 199 y hasta 998, consulte [4] [5] [6] )
B Número ( C - D ) * ( C + D ) = L * M F C D 2 2 4 k + 2 + 1 1 2 2 k + 1 + 1 2 k + 1 3 3 6 k + 3 + 1 3 2 k + 1 + 1 3 2 k + 1 + 1 3 k + 1 5 5 10 k + 5 - 1 5 2 k + 1 - 1 5 4 k + 2 + 3 (5 2 k + 1 ) + 1 5 3 k + 2 + 5 k + 1 6 6 12 k + 6 + 1 6 4 k + 2 + 1 6 4 k + 2 + 3 (6 2 k + 1 ) + 1 6 3 k + 2 + 6 k + 1 7 7 14 k + 7 + 1 7 2 k + 1 + 1 7 6 k + 3 + 3 (7 4 k + 2 ) + 3 (7 2 k + 1 ) + 1 7 5 k + 3 + 7 3 k + 2 + 7 k + 1 10 10 20 k + 10 + 1 10 4 k + 2 + 1 10 8 k + 4 + 5 (10 6 k + 3 ) + 7 (10 4 k + 2 )
+ 5 (10 2 k + 1 ) + 110 7 k + 4 + 2 (10 5 k + 3 ) + 2 (10 3 k + 2 )
+ 10 k + 111 11 22 k + 11 + 1 11 2 k + 1 + 1 11 10 k + 5 + 5 (11 8 k + 4 ) - 11 6 k +
3-11 4 k + 2 + 5 (11 2 k + 1 ) + 111 9 k + 5 + 11 7 k + 4 - 11 5 k + 3
+ 11 3 k + 2 + 11 k + 112 12 6 k + 3 + 1 12 2 k + 1 + 1 12 2 k + 1 + 1 6 (12 k ) 13 13 26 k + 13 - 1 13 2 k + 1 - 1 13 12 k + 6 + 7 (13 10 k + 5 ) + 15 (13 8 k + 4 )
+ 19 (13 6 k + 3 ) + 15 (13 4 k + 2 ) + 7 (13 2 k + 1 ) + 113 11 k + 6 + 3 (13 9 k + 5 ) + 5 (13 7 k + 4 )
+ 5 (13 5 k + 3 ) + 3 (13 3 k + 2 ) + 13 k + 114 14 28 k + 14 + 1 14 4 k + 2 + 1 14 12 k + 6 + 7 (14 10 k + 5 ) + 3 (14 8 k + 4 )
- 7 (14 6 k + 3 ) + 3 (14 4 k + 2 ) + 7 (14 2 k + 1 ) + 114 11 k + 6 + 2 (14 9 k + 5 ) - 14 7 k + 4
- 14 5 k + 3 + 2 (14 3 k + 2 ) + 14 k + 115 15 30 k + 15 + 1 15 14 k + 7 - 15 12 k + 6 + 15 10 k + 5
+ 15 4 k + 2 - 15 2 k + 1 + 115 8 k + 4 + 8 (15 6 k + 3 ) + 13 (15 4 k + 2 )
+ 8 (15 2 k + 1 ) + 115 7 k + 4 + 3 (15 5 k + 3 ) + 3 (15 3 k + 2 )
+ 15 k + 117 17 34 k + 17 - 1 17 2 k + 1 - 1 17 16 k + 8 + 9 (17 14 k + 7 ) + 11 (17 12 k + 6 )
- 5 (17 10 k + 5 ) - 15 (17 8 k + 4 ) - 5 (17 6 k + 3 )
+ 11 (17 4 k + 2 ) + 9 (17 2 k + 1 ) + 117 15 k + 8 + 3 (17 13 k + 7 ) + 17 11 k + 6
- 3 (17 9 k + 5 ) - 3 (17 7 k + 4 ) + 17 5 k + 3
+ 3 (17 3 k + 2 ) + 17 k + 118 18 4 k + 2 + 1 1 18 2 k + 1 + 1 6 (18 k ) 19 19 38 k + 19 + 1 19 2 k + 1 + 1 19 18 k + 9 + 9 (19 16 k + 8 ) + 17 (19 14 k + 7 )
+ 27 (19 12 k + 6 ) + 31 (19 10 k + 5 ) + 31 (19 8 k + 4 )
+ 27 (19 6 k + 3 ) + 17 (19 4 k + 2 ) + 9 (19 2 k + 1 ) + 119 17 k + 9 + 3 (19 15 k + 8 ) + 5 (19 13 k + 7 )
+ 7 (19 11 k + 6 ) + 7 (19 9 k + 5 ) + 7 (19 7 k + 4 )
+ 5 (19 5 k + 3 ) + 3 (19 3 k + 2 ) + 19 k + 120 20 10 k + 5 - 1 20 2 k + 1 - 1 20 4 k + 2 + 3 (20 2 k + 1 ) + 1 10 (20 3 k + 1 ) + 10 (20 k ) 21 21 42 k + 21 - 1 21 18 k + 9 + 21 16 k + 8 + 21 14 k + 7
- 21 4 k + 2 - 21 2 k + 1 - 121 12 k + 6 + 10 (21 10 k + 5 ) + 13 (21 8 k + 4 )
+ 7 (21 6 k + 3 ) + 13 (21 4 k + 2 ) + 10 (21 2 k + 1 ) + 121 11 k + 6 + 3 (21 9 k + 5 ) + 2 (21 7 k + 4 )
+ 2 (21 5 k + 3 ) + 3 (21 3 k + 2 ) + 21 k + 122 22 44 k + 22 + 1 22 4 k + 2 + 1 22 20 k + 10 + 11 (22 18 k + 9 ) + 27 (22 16 k + 8 )
+ 33 (22 14 k + 7 ) + 21 (22 12 k + 6 ) + 11 (22 10 k + 5 )
+ 21 (22 8 k + 4 ) + 33 (22 6 k + 3 ) + 27 (22 4 k + 2 )
+ 11 (22 2 k + 1 ) + 122 19 k + 10 + 4 (22 17 k + 9 ) + 7 (22 15 k + 8 )
+ 6 (22 13 k + 7 ) + 3 (22 11 k + 6 ) + 3 (22 9 k + 5 )
+ 6 (22 7 k + 4 ) + 7 (22 5 k + 3 ) + 4 (22 3 k + 2 )
+ 22 k + 123 23 46 k + 23 + 1 23 2 k + 1 + 1 23 22 k + 11 + 11 (23 20 k + 10 ) + 9 (23 18 k + 9 )
- 19 (23 16 k + 8 ) - 15 (23 14 k + 7 ) + 25 (23 12 k + 6 )
+ 25 (23 10 k + 5 ) - 15 (23 8 k + 4 ) - 19 (23 6 k + 3 )
+ 9 (23 4 k + 2 ) + 11 (23 2 k + 1 ) + 123 21 k + 11 + 3 (23 19 k + 10 ) - 23 17 k + 9
- 5 (23 15 k + 8 ) + 23 13 k + 7 + 7 (23 11 k + 6 )
+ 23 9 k + 5 - 5 (23 7 k + 4 ) - 23 5 k + 3
+ 3 (23 3 k + 2 ) + 23 k + 124 24 12 k + 6 + 1 24 4 k + 2 + 1 24 4 k + 2 + 3 (24 2 k + 1 ) + 1 12 (24 3 k + 1 ) + 12 (24 k )
- Números de Lucas tener la siguiente factorización aurifeuilleana: [7]
- dónde es el el número de Lucas, es el el número de Fibonacci .
Historia
Antes del descubrimiento de las factorizaciones aurifeuilleanas, Landry [8] [9] obtuvo la siguiente factorización en números primos:
, mediante un tremendo esfuerzo manual,Luego, en 1871, Aurifeuille descubrió la naturaleza de esta factorización; el número por , con la fórmula de la sección anterior, factores como: [2] [8]
Por supuesto, la factorización completa de Landry se deriva de esto (eliminando el factor obvio 5). Lucas descubrió más tarde la forma general de la factorización . [2]
536903681 es un ejemplo de una norma gaussiana de Mersenne . [9]
Referencias
- ^ A. Granville, P. Pleasants (2006). "Factorización Aurifeuillian" (PDF) . Matemáticas. Comp . 75 (253): 497–508. doi : 10.1090 / S0025-5718-05-01766-7 .
- ^ a b c Weisstein, Eric W. "Factorización Aurifeuillean" . MathWorld .
- ^ "Tablas principales de Cunningham" . Al final de las tablas 2LM, 3+, 5-, 6+, 7+, 10+, 11+ y 12+ hay fórmulas que detallan las factorizaciones de Aurifeuillian.
- ^ Lista de factorización Aurifeuillean de números ciclotómicos (bases sin cuadrados hasta 199)
- ^ Coeficientes de polinomios Lucas C, D para todas las bases sin cuadrados hasta 199
- ^ Coeficientes de polinomios Lucas C, D para todas las bases sin cuadrados hasta 998
- ^ Parte primitiva de Lucas Aurifeuilliean
- ^ a b Aritmética de enteros, teoría de números - Factorizaciones de Aurifeuillian , Numericana
- ^ a b Gaussian Mersenne , el glosario de Prime Pages
enlaces externos
- Factorización Aurifeuillian , Colin Barker
- Recolección de factores en línea