Valor débil

En mecánica cuántica (y computación ), un valor débil es una cantidad relacionada con un desplazamiento del puntero de un dispositivo de medición cuando generalmente hay preselección y posselección . No debe confundirse con una medición débil , que a menudo se define en conjunto. El valor débil fue definido por primera vez por Yakir Aharonov , David Albert y Lev Vaidman , publicado en Physical Review Letters 1988, ^[1] y está relacionado con el formalismo vectorial de dos estados . También hay una forma de obtener valores débiles sin postselección. ^{[2] [3]}

Definición y derivación

Hay muchos artículos de revisión excelentes sobre valores débiles (consulte, por ejemplo, ^{[4] [5] [6] [7]} ). Aquí cubrimos brevemente los conceptos básicos.

Definición

Denotaremos el estado inicial de un sistema como , mientras que el estado final del sistema se denotará como . Nos referiremos a los estados inicial y final del sistema como estados mecánicos cuánticos preseleccionados y posteriores. Con respecto a estos estados, el valor débil del observable se define como:${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$${\displaystyle |\psi _{f}\rangle }$${\displaystyle A}$

${\displaystyle A_{w}={\frac {\langle \psi _{f}|A|\psi _{i}\rangle }{\langle \psi _{f}|\psi _{i}\rangle }}.}$

Observe que si entonces el valor débil es igual al valor esperado habitual en el estado inicial o en el estado final . En general, la cantidad de valor débil es un número complejo . El valor débil de lo observable se vuelve grande cuando el estado post-seleccionado , se acerca a ser ortogonal al estado preseleccionado , es decir . Si es mayor que el valor propio más grande o menor que el valor propio más pequeño del valor débil se dice que es anómalo.${\displaystyle |\psi _{f}\rangle =|\psi _{i}\rangle }$${\displaystyle \langle \psi _{i}|A|\psi _{i}\rangle }$${\displaystyle \langle \psi _{f}|A|\psi _{f}\rangle }$${\displaystyle |\psi _{f}\rangle }$${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$${\displaystyle |\langle \psi _{f}|\psi _{i}\rangle |\ll 1}$${\displaystyle A_{w}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

Como ejemplo, considere una partícula de espín 1/2. ^[8] Considere el operador Pauli Z con valores propios . Usando el estado inicial${\displaystyle A}$${\displaystyle A=\sigma _{z}}$${\displaystyle \pm 1}$

${\displaystyle |\psi _{i}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\begin{array}{c}\cos {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\alpha }{2}}\\\cos {\frac {\alpha }{2}}-\sin {\frac {\alpha }{2}}\end{array}}\right)}$

y el estado final

${\displaystyle |\psi _{f}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\begin{array}{c}1\\1\end{array}}\right)}$

podemos calcular el valor débil para ser

${\displaystyle A_{w}=(\sigma _{z})_{w}=\tan {\frac {\alpha }{2}}}$.

Porque el valor débil es anómalo.${\displaystyle |\alpha |>{\frac {\pi }{2}}}$

Derivación

A continuación, seguimos la presentación de Duck, Stevenson y Sudarshan , ^[8] (con algunas actualizaciones de notación de Kofman et al. ^[4] ) que hace explícito cuándo son válidas las aproximaciones utilizadas para derivar el valor débil.

Considere un sistema cuántico que desea medir acoplando un dispositivo de medición auxiliar (también cuántico). El observable que se va a medir en el sistema es . El sistema y la ancilla se acoplan a través del hamiltoniano donde la constante de acoplamiento se integra durante un tiempo de interacción y es el conmutador canónico. El hamiltoniano genera lo unitario${\displaystyle A}$${\displaystyle {\begin{aligned}H=\gamma A\otimes p,\end{aligned}}}$${\displaystyle \gamma =\int _{t_{i}}^{t_{f}}g(t)dt\ll 1}$${\displaystyle [q,p]=i}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U=\exp[-i\gamma A\otimes p].\end{aligned}}}$

Tome el estado inicial de la ancilla para tener una distribución gaussiana

${\displaystyle {\begin{aligned}|\Phi \rangle ={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\int dq'\exp[-q'^{2}/4\sigma ^{2}]|q'\rangle ,\end{aligned}}}$

la función de onda de posición de este estado es

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (q)=\langle q|\Phi \rangle ={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\exp[-q^{2}/4\sigma ^{2}].\end{aligned}}}$

El estado inicial del sistema viene dado por arriba; el estado , que describe conjuntamente el estado inicial del sistema y ancilla, viene dado por:${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$${\displaystyle |\Psi \rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}|\Psi \rangle =|\psi _{i}\rangle \otimes |\Phi \rangle .\end{aligned}}}$

A continuación, el sistema y la ancilla interactúan a través del unitario . Posteriormente se realiza una medición proyectiva de los proyectores en el sistema. Si posseleccionamos (o condicionamos ) para obtener el resultado , entonces el estado final (no normalizado) del medidor es${\displaystyle U|\Psi \rangle }$${\displaystyle \{|\psi _{f}\rangle \langle \psi _{f}|,I-|\psi _{f}\rangle \langle \psi _{f}|\}}$${\displaystyle |\psi _{f}\rangle \langle \psi _{f}|}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|\Phi _{f}\rangle &=\langle \psi _{f}|U|\psi _{i}\rangle \otimes |\Phi \rangle \\&\approx \langle \psi _{f}|(I\otimes I-i\gamma A\otimes p)|\psi _{i}\rangle \otimes |\Phi \rangle \quad (I)\\&=\langle \psi _{f}|\psi _{i}\rangle (1-i\gamma A_{w}p)|\Phi \rangle \\&\approx \langle \psi _{f}|\psi _{i}\rangle \exp(-i\gamma A_{w}p)|\Phi \rangle .\quad (II)\end{aligned}}}$

Para llegar a esta conclusión, usamos la expansión en serie de primer orden de la línea (I), y requerimos que ^{[4] [8]}${\displaystyle U}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {|\gamma |}{\sigma }}\left|{\frac {\langle \psi _{f}|A^{n}|\psi _{i}\rangle }{\langle \psi _{f}|A|\psi _{i}\rangle }}\right|^{1/(n-1)}\ll 1,\quad (n=2,3,...)\end{aligned}}}$

En la línea (II) usamos la aproximación que para pequeño . Esta aproximación final solo es válida cuando ^{[4] [8]}${\displaystyle e^{-x}\approx 1-x}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|\gamma A_{w}|/\sigma \ll 1.\end{aligned}}}$

Como es el generador de traslaciones, la función de onda de la ancilla ahora viene dada por${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{f}(q)=\Phi (q-\gamma A_{w}).\end{aligned}}}$

Esta es la función de onda original, desplazada en una cantidad . Según el teorema de Busch ^[9], las funciones de onda del sistema y del medidor son necesariamente perturbadas por la medición. En cierto sentido, el protocolo que permite medir el valor débil es mínimamente perturbador, ^[10] pero todavía hay perturbación. ^[10]${\displaystyle \gamma A_{w}}$

Aplicaciones

Metrología y tomografía cuántica

Al final del artículo original sobre valores débiles ^[1], los autores sugirieron que los valores débiles podrían usarse en metrología cuántica :

Otro aspecto sorprendente de este experimento se hace evidente cuando lo consideramos como un dispositivo para medir un pequeño gradiente del campo magnético ... produce una amplificación tremenda.

Aharonov, Albert, Vaidman ^[1]

Esta sugerencia fue seguida por Hosten y Kwiat ^[11] y más tarde por Dixon et al. ^[12] Parece ser una línea de investigación interesante que podría resultar en una tecnología mejorada de detección cuántica.

Además, en 2011, se utilizaron mediciones débiles de muchos fotones preparados en el mismo estado puro , seguidas de mediciones fuertes de una variable complementaria, para realizar una tomografía cuántica (es decir, reconstruir el estado en el que se prepararon los fotones). ^[13]

Fundaciones cuánticas

Se han utilizado valores débiles para examinar algunas de las paradojas en los fundamentos de la teoría cuántica. Esto depende en gran medida de si los valores débiles se consideran relevantes para describir las propiedades de los sistemas cuánticos, ^[14] un punto que no es obvio ya que los valores débiles son generalmente diferentes de los valores propios . Por ejemplo, el grupo de investigación de Aephraim Steinberg de la Universidad de Toronto confirmó la paradoja de Hardy experimentalmente utilizando la medición conjunta débil de las ubicaciones de los pares de fotones entrelazados. ^{[15] [16]} (ver también ^[17] )

Basándose en mediciones débiles, Howard M. Wiseman propuso una medición de valor débil de la velocidad de una partícula cuántica en una posición precisa, a la que denominó "velocidad observable ingenuamente". En 2010, se informó una primera observación experimental de las trayectorias de un fotón en un interferómetro de doble rendija , que mostró las características cualitativas predichas en 2001 por Partha Ghose ^[18] para los fotones en la interpretación de Broglie-Bohm . ^{[19] [20]} Siguiendo con la medición de velocidad débil de Wiseman, Johannes Fankhauser y Patrick Dürr sugieren en un artículo que las mediciones de velocidad débil no constituyen nuevos argumentos, y mucho menos evidencia empírica, a favor o en contra del estándar.teoría de De Broglie-Bohm . Según los autores, tales mediciones no podrían proporcionar evidencia experimental directa que muestre la forma de las trayectorias de las partículas, incluso si se supone que existen algunas trayectorias de partículas deterministas. ^[21]

Computación cuántica

Se han implementado valores débiles en la computación cuántica para obtener una velocidad gigante en la complejidad del tiempo. En un artículo, ^[22] Arun Kumar Pati describe un nuevo tipo de computadora cuántica que usa amplificación de valor débil y post-selección (WVAP), e implementa un algoritmo de búsqueda que (dada una post-selección exitosa) puede encontrar el estado objetivo en una sola ejecución. con la complejidad del tiempo , superando el conocido algoritmo de Grover .${\displaystyle O(\log N)}$

Criticas

Las críticas a los valores débiles incluyen críticas filosóficas y prácticas. Algunos investigadores destacados como Asher Peres , Tony Leggett , David Mermin y Charles H. Bennett también critican los valores débiles:

• Stephen Parrott cuestiona el significado y la utilidad de las mediciones débiles, como se describió anteriormente. [2]
• Sokolovski ^{[ aclaración necesaria ] [23]}

Otras lecturas

• Zeeya Merali (abril de 2010). "Regreso del futuro" . Descubrir . Una serie de experimentos cuánticos muestra que las mediciones realizadas en el futuro pueden influir en el presente.
• "La física cuántica primero: los investigadores observan fotones individuales en el experimento del interferómetro de dos rendijas" . phys.org. 2 de junio de 2011.
• Adrian Cho (5 de agosto de 2011). "Enfoque furtivo deshace los límites de la incertidumbre cuántica". Ciencia . 333 (6043): 690–693. Código Bibliográfico : 2011Sci ... 333..690C . doi : 10.1126 / science.333.6043.690 . PMID  21817029 .

Referencias

1. Yakir Aharonov; David Z. Albert; Lev Vaidman (1988). "Cómo el resultado de una medida de un componente del spin de una partícula spin-1/2 puede llegar a ser 100". Cartas de revisión física . 60 (14): 1351-1354. Código Bibliográfico : 1988PhRvL..60.1351A . doi : 10.1103 / PhysRevLett.60.1351 . PMID 10038016 . 
2. Abbott, Alastair A .; Silva, Ralph; Wechs, Julian; Brunner, Nicolas; Branciard, Cyril (2019). "Valores débiles anómalos sin post-selección". Quantum . 3 : 194. arXiv : 1805.09364 . doi : 10.22331 / q-2019-10-14-194 .
3. Nirala, Gaurav; Sahoo, Surya Narayan; Pati, Arun K .; Sinha, Urbasi (13 de febrero de 2019). "Medición del promedio de operador no hermitiano con valor débil en un interferómetro Mach-Zehnder". Physical Review A . 99 (2): 022111. arXiv : 1807.09014 . Código bibliográfico : 2019PhRvA..99b2111N . doi : 10.1103 / PhysRevA.99.022111 . ISSN 2469-9926 . 
4. A. G. Kofman; S. Ashhab; F. Nori (2012). "Teoría no perturbativa de mediciones débiles preseleccionadas y posteriores". Informes de física . 520 (1): 43-133. arXiv : 1109.6315 . Código bibliográfico : 2012PhR ... 520 ... 43K . doi : 10.1016 / j.physrep.2012.07.001 .
5. Boaz Tamir; Eliahu Cohen (2013). "Introducción a las medidas débiles y valores débiles" . Quanta . 2 (1): 7–17. doi : 10.12743 / quanta.v2i1.14 .
6. Bengt EY Svensson (2013). "Revisión pedagógica de la teoría de la medición cuántica con énfasis en las mediciones débiles". Quanta . 2 (1): 18–49. arXiv : 1202.5148 . doi : 10.12743 / quanta.v2i1.12 .
7. J. Dressel; M. Malik; FM Miatto; AN Jordan; RW Boyd (2014). "Coloquio: comprensión de los valores débiles cuánticos: conceptos básicos y aplicaciones". Reseñas de Física Moderna . 86 (1): 307–316. arXiv : 1305.7154 . Código bibliográfico : 2014RvMP ... 86..307D . doi : 10.1103 / RevModPhys.86.307 .
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19. Sacha Kocsis, Sylvain Ravets, Boris Braverman, Krister Shalm, Aephraim M. Steinberg: Observación de las trayectorias de un solo fotón mediante medición débil, XIX Congreso del Instituto Australiano de Física (AIP), 2010 [1]
20. Kocsis Sacha, Braverman Boris, Ravets Sylvain, Stevens Martin J., Mirin Richard P., Shalm L. Krister, Steinberg Aephraim M. (2011). " Observación de las trayectorias promedio de fotones individuales en un interferómetro de dos rendijas ". Ciencia . 332 (6034): 1170-1173. Código bibliográfico : 2011Sci ... 332.1170K . doi : 10.1126 / science.1202218 . PMID 21636767 . 
21. Fankhauser Johannes, Dürr Patrick (2021). "Cómo (no) entender las medidas débiles de velocidad" . Estudios de Historia y Filosofía de la Ciencia Parte A . 85 : 16-29. doi : 10.1016 / j.shpsa.2020.12.002 .
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23. Dmitri Sokolovski (2013). "¿Son las medidas débiles realmente medidas?". Quanta . 2 (1): 50–57. arXiv : 1305.4809 . doi : 10.12743 / quanta.v2i1.15 .