En teoría de la probabilidad y estadísticas , la distribución de Weibull / v eɪ b ʊ l / es un continuo de distribución de probabilidad . Lleva el nombre del matemático sueco Waloddi Weibull , quien lo describió en detalle en 1951, aunque fue identificado por primera vez por Fréchet (1927) y aplicado por primera vez por Rosin y Rammler (1933) para describir una distribución de tamaño de partícula .
Función de densidad de probabilidad | |||
Función de distribución acumulativa | |||
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Divergencia de Kullback-Leibler | vea abajo |
Definición
Parametrización estándar
La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria de Weibull es: [1]
donde k > 0 es el parámetro de forma y λ> 0 es el parámetro de escala de la distribución. Su función de distribución acumulativa complementaria es una función exponencial estirada . La distribución de Weibull está relacionada con otras distribuciones de probabilidad; en particular, interpola entre la distribución exponencial ( k = 1) y la distribución de Rayleigh ( k = 2 y[2] ).
Si la cantidad X es un "tiempo de falla", la distribución de Weibull da una distribución para la cual la tasa de falla es proporcional a una potencia de tiempo. El parámetro de forma , k , es esa potencia más uno, por lo que este parámetro se puede interpretar directamente de la siguiente manera: [3]
- Un valor de indica que la tasa de fallas disminuye con el tiempo ( efecto Lindy ). Esto sucede si hay una "mortalidad infantil" significativa o si los artículos defectuosos fallan temprano y la tasa de fallas disminuye con el tiempo a medida que los artículos defectuosos se eliminan de la población. En el contexto de la difusión de innovaciones , esto significa el boca a boca negativo: la función de peligro es una función monótonamente decreciente de la proporción de adoptantes;
- Un valor de indica que la tasa de fallas es constante en el tiempo. Esto podría sugerir que eventos externos aleatorios están causando mortalidad o fallas. La distribución de Weibull se reduce a una distribución exponencial;
- Un valor de indica que la tasa de fallas aumenta con el tiempo. Esto sucede si hay un proceso de "envejecimiento" o partes que tienen más probabilidades de fallar a medida que pasa el tiempo. En el contexto de la difusión de innovaciones , esto significa un boca a boca positivo: la función de peligro es una función monótonamente creciente de la proporción de adoptantes. La función es primero convexa, luego cóncava con un punto de inflexión en.
En el campo de la ciencia de los materiales , el parámetro de forma k de una distribución de resistencias se conoce como módulo de Weibull . En el contexto de la difusión de innovaciones , la distribución de Weibull es un modelo de imitación / rechazo "puro".
Parametrizaciones alternativas
Las aplicaciones en estadística médica y econometría a menudo adoptan una parametrización diferente. [4] [5] El parámetro de forma k es el mismo que el anterior, mientras que el parámetro de escala es. En este caso, para x ≥ 0, la función de densidad de probabilidad es
la función de distribución acumulativa es
la función de peligro es
y la media es
También se puede encontrar una tercera parametrización. [6] [7] El parámetro de forma k es el mismo que en el caso estándar, mientras que el parámetro de escala es. Entonces, para x ≥ 0, la función de densidad de probabilidad es
la función de distribución acumulativa es
y la función de peligro es
En las tres parametrizaciones, el riesgo disminuye para k <1, aumenta para k> 1 y constante para k = 1, en cuyo caso la distribución de Weibull se reduce a una distribución exponencial.
Propiedades
Función de densidad
La forma de la función de densidad de la distribución de Weibull cambia drásticamente con el valor de k . Para 0 < k <1, la función de densidad tiende a ∞ cuando x se acerca a cero desde arriba y es estrictamente decreciente. Para k = 1, la función de densidad tiende a 1 / λ cuando x se acerca a cero desde arriba y es estrictamente decreciente. Para k > 1, la función de densidad tiende a cero cuando x se acerca a cero desde arriba, aumenta hasta su moda y disminuye después de ella. La función de densidad tiene pendiente negativa infinita en x = 0 si 0 < k <1, pendiente positiva infinita en x = 0 si 1 < k <2 y pendiente nula en x = 0 si k > 2. Para k = 1 la densidad tiene una pendiente negativa finita en x = 0. Para k = 2, la densidad tiene una pendiente positiva finita en x = 0. Cuando k llega al infinito, la distribución de Weibull converge a una distribución delta de Dirac centrada en x = λ. Además, la asimetría y el coeficiente de variación dependen únicamente del parámetro de forma. Una generalización de la distribución de Weibull es la distribución hipérbolastica del tipo III .
Función de distribución acumulativa
La función de distribución acumulada para la distribución de Weibull es
para x ≥ 0, y F ( x ; k ; λ) = 0 para x <0.
Si x = λ entonces F ( x ; k ; λ) = 1 - e −1 ≈ 0.632 para todos los valores de k . Viceversa: en F ( x ; k ; λ ) = 0.632 el valor de x ≈ λ .
La función de cuantiles (distribución acumulativa inversa) para la distribución de Weibull es
para 0 ≤ p <1.
La tasa de falla h (o función de riesgo) viene dada por
El tiempo medio entre fallos MTBF es
Momentos
La función generadora de momentos del logaritmo de una variable aleatoria distribuida de Weibull viene dada por [8]
donde Γ es la función gamma . De manera similar, la función característica de log X viene dada por
En particular, el n- ésimo momento bruto de X viene dado por
La media y la varianza de una variable aleatoria de Weibull se pueden expresar como
y
La asimetría viene dada por
donde la media se denota por μ y la desviación estándar se denota por σ .
El exceso de curtosis viene dado por
dónde . El exceso de curtosis también se puede escribir como:
Función generadora de momentos
Una variedad de expresiones están disponibles para el momento que genera la función de X en sí. Como serie de potencias , dado que los momentos crudos ya se conocen, uno tiene
Alternativamente, se puede intentar tratar directamente con la integral
Si el parámetro k se supone que es un número racional, expresada como k = p / q , donde p y q son números enteros, a continuación, esta integral se puede evaluar analíticamente. [9] Con t reemplazado por - t , se encuentra
donde G es la función G de Meijer .
La función característica también ha sido obtenida por Muraleedharan et al. (2007) . La función característica y la función generadora de momentos de la distribución de Weibull de 3 parámetros también han sido derivadas por Muraleedharan y Soares (2014)
por un enfoque directo.Entropía de Shannon
La entropía de la información viene dada por
dónde es la constante de Euler-Mascheroni . La distribución de Weibull es la distribución de entropía máxima para una variable aleatoria real no negativa con un valor esperado fijo de x k igual a λ k y un valor esperado fijo de ln ( x k ) igual a ln ( λ k ) - .
Estimación de parámetros
Máxima verosimilitud
El estimador de máxima verosimilitud para el parámetro dado es
El estimador de máxima verosimilitud para es la solución para k de la siguiente ecuación [10]
Esta ecuación que define sólo implícitamente, generalmente se debe resolver para por medios numéricos.
Cuándo son los muestras observadas más grandes de un conjunto de datos de más de muestras, entonces el estimador de máxima verosimilitud para el parámetro dado es [10]
También dada esa condición, el estimador de máxima verosimilitud para es [ cita requerida ]
Nuevamente, siendo esta una función implícita, generalmente se debe resolver para por medios numéricos.
Parcela de Weibull
El ajuste de una distribución de Weibull a los datos se puede evaluar visualmente mediante un gráfico de Weibull. [11] La gráfica de Weibull es una gráfica de la función de distribución acumulativa empírica de datos en ejes especiales en un tipo de gráfico QQ . Los ejes son versus . La razón de este cambio de variables es que la función de distribución acumulativa se puede linealizar:
que puede verse en la forma estándar de una línea recta. Por lo tanto, si los datos provienen de una distribución de Weibull, se espera una línea recta en una gráfica de Weibull.
Hay varios enfoques para obtener la función de distribución empírica a partir de los datos: un método es obtener la coordenada vertical de cada punto utilizando dónde es el rango del punto de datos y es el número de puntos de datos. [12]
La regresión lineal también se puede utilizar para evaluar numéricamente la bondad del ajuste y estimar los parámetros de la distribución de Weibull. El degradado informa directamente sobre el parámetro de forma. y el parámetro de escala también se puede inferir.
Divergencia de Kullback-Leibler
- [13]
Aplicaciones
Se utiliza la distribución de Weibull [ cita requerida ]
- En análisis de supervivencia
- En ingeniería de confiabilidad y análisis de fallas
- En ingeniería eléctrica para representar la sobretensión que se produce en un sistema eléctrico.
- En ingeniería industrial para representar los tiempos de fabricación y entrega
- En la teoría del valor extremo
- En la previsión meteorológica y la industria de la energía eólica para describir las distribuciones de la velocidad del viento , ya que la distribución natural a menudo coincide con la forma de Weibull [16]
- En ingeniería de sistemas de comunicaciones
- En sistemas de radar para modelar el nivel de dispersión de las señales recibidas producidas por algunos tipos de perturbaciones
- Para modelar canales de desvanecimiento en comunicaciones inalámbricas , ya que el modelo de desvanecimiento de Weibull parece mostrar un buen ajuste a las mediciones experimentales de canales de desvanecimiento.
- En la recuperación de información para modelar los tiempos de permanencia en las páginas web. [17]
- En seguros generales para modelar el tamaño de las reclamaciones de reaseguro y el desarrollo acumulativo de pérdidas por asbestosis
- Al pronosticar el cambio tecnológico (también conocido como modelo Sharif-Islam) [18]
- En hidrología, la distribución de Weibull se aplica a eventos extremos como las precipitaciones máximas anuales de un día y las descargas fluviales.
- En el análisis de la curva de declive para modelar la curva de tasa de producción de petróleo de los pozos de petróleo de esquisto. [15]
- Para describir el tamaño de las partículas generadas por las operaciones de trituración , trituración y trituración , se utiliza la distribución de Weibull de 2 parámetros y, en estas aplicaciones, a veces se la conoce como distribución Rosin-Rammler. [ cita requerida ] En este contexto, predice menos partículas finas que la distribución Log-normal y generalmente es más precisa para distribuciones de tamaño de partículas estrechas. [19] La interpretación de la función de distribución acumulativa es quees la fracción de masa de partículas con un diámetro menor que, dónde es el tamaño medio de partícula y es una medida de la dispersión del tamaño de las partículas.
- Al describir nubes de puntos aleatorias (como las posiciones de las partículas en un gas ideal): la probabilidad de encontrar la partícula vecina más cercana a una distancia de una partícula dada viene dada por una distribución de Weibull con y igual a la densidad de las partículas. [20]
Distribuciones relacionadas
- Una distribución de Weibull es una distribución gamma generalizada con ambos parámetros de forma iguales a k .
- La distribución de Weibull traducida (o Weibull de 3 parámetros) contiene un parámetro adicional. [8] Tiene la función de densidad de probabilidad
por y por , dónde es el parámetro de forma ,es el parámetro de escala yes el parámetro de ubicación de la distribución.El valor establece un tiempo inicial libre de fallas antes de que comience el proceso normal de Weibull. Cuándo, esto se reduce a la distribución de 2 parámetros. - La distribución de Weibull se puede caracterizar como la distribución de una variable aleatoria tal que la variable aleatoria
es la distribución exponencial estándar con intensidad 1. [8] - Esto implica que la distribución de Weibull también se puede caracterizar en términos de una distribución uniforme : si se distribuye uniformemente en , luego la variable aleatoria ¿Weibull se distribuye con parámetros? y . Tenga en cuenta que aquí es equivalente a justo arriba. Esto conduce a un esquema numérico de fácil implementación para simular una distribución de Weibull.
- La distribución de Weibull se interpola entre la distribución exponencial con intensidad Cuándo y una distribución de Rayleigh del modo Cuándo .
- La distribución de Weibull (usualmente suficiente en ingeniería de confiabilidad ) es un caso especial de la distribución de Weibull exponenciada de tres parámetros donde el exponente adicional es igual a 1. La distribución de Weibull exponencial acomoda tasas de falla unimodal , en forma de bañera [21] y monótonas .
- La distribución de Weibull es un caso especial de la distribución generalizada de valores extremos . Fue en este sentido que la distribución fue identificada por primera vez por Maurice Fréchet en 1927. [22] La distribución de Fréchet estrechamente relacionada , llamada así por este trabajo, tiene la función de densidad de probabilidad
- La distribución de una variable aleatoria que se define como el mínimo de varias variables aleatorias, cada una con una distribución de Weibull diferente, es una distribución poli-Weibull .
- La distribución de Weibull fue aplicada por primera vez por Rosin y Rammler (1933) para describir las distribuciones de tamaño de partículas. Se usa ampliamente en el procesamiento de minerales para describir la distribución del tamaño de partículas en los procesos de trituración . En este contexto, la distribución acumulativa viene dada por
dónde- es el tamaño de partícula
- es el percentil 80 de la distribución del tamaño de partícula
- es un parámetro que describe la extensión de la distribución
- Debido a su disponibilidad en hojas de cálculo , también se utiliza cuando el comportamiento subyacente está mejor modelado por una distribución de Erlang . [23]
- Si luego ( Distribución exponencial )
- Para los mismos valores de k, la distribución Gamma adquiere formas similares, pero la distribución de Weibull es más platicúrtica .
Ver también
- Teorema de Fisher-Tippett-Gnedenko
- Distribución logística
- Distribución Rosin-Rammler para análisis de tamaño de partículas
- Distribución de Rayleigh
Referencias
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enlaces externos
- "Distribución de Weibull" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Mathpages - análisis de Weibull
- La distribución de Weibull
- Análisis de confiabilidad con Weibull
- Gráfico interactivo: Relaciones de distribución univariadas
- Trazado de probabilidad de Weibull en línea