La función exponencial estirada
se obtiene insertando una ley de potencia fraccionaria en la función exponencial . En la mayoría de las aplicaciones, solo tiene sentido para los argumentos t entre 0 y + ∞. Con β = 1, se recupera la función exponencial habitual. Con un exponente de estiramiento β entre 0 y 1, la gráfica de log f versus t se estira característicamente , de ahí el nombre de la función. La función exponencial comprimida (con β > 1) tiene menos importancia práctica, con la notable excepción de β = 2, que da la distribución normal .
En matemáticas, la exponencial estirada también se conoce como distribución complementaria acumulativa de Weibull . La exponencial estirada es también la función característica , básicamente la transformada de Fourier , de la distribución alfa estable simétrica de Lévy .
En física, la función exponencial estirada se usa a menudo como una descripción fenomenológica de la relajación en sistemas desordenados. Fue introducido por primera vez por Rudolf Kohlrausch en 1854 para describir la descarga de un condensador; [1] por lo tanto, también se conoce como función de Kohlrausch . En 1970, G. Williams y DC Watts utilizaron la transformada de Fourier de la exponencial estirada para describir los espectros dieléctricos de los polímeros; [2] en este contexto, la exponencial estirada o su transformada de Fourier también se denominan función de Kohlrausch-Williams-Watts (KWW) .
En aplicaciones fenomenológicas, a menudo no está claro si la función exponencial estirada debe usarse para describir la función de distribución diferencial o integral, o ninguna de las dos. En cada caso, se obtiene la misma desintegración asintótica, pero un prefactor de ley de potencia diferente, lo que hace que los ajustes sean más ambiguos que para las exponenciales simples. En unos pocos casos, [3] [4] [5] [6] se puede demostrar que la desintegración asintótica es una exponencial estirada, pero el prefactor suele ser una potencia no relacionada.
Propiedades matematicas
Momentos
Siguiendo la interpretación física habitual, interpretamos el argumento de la función t como tiempo, y f β ( t ) es la distribución diferencial. Por tanto, el área bajo la curva se puede interpretar como un tiempo medio de relajación . Uno encuentra
donde Γ es la función gamma . Para el decaimiento exponencial, se recupera 〈τ〉 = τ K.
Los momentos más altos de la función exponencial estirada son [7]
Función de distribución
En física, se han hecho intentos para explicar el comportamiento exponencial extendido como una superposición lineal de desintegraciones exponenciales simples. Esto requiere una distribución no trivial de los tiempos de relajación, ρ (u) , que está implícitamente definida por
Alternativamente, una distribución
se utiliza.
ρ se puede calcular a partir de la expansión de la serie: [8]
Para valores racionales de β , ρ ( u ) se puede calcular en términos de funciones elementales. Pero la expresión es en general demasiado compleja para ser útil excepto en el caso β = 1/2 donde
La Figura 2 muestra los mismos resultados graficados en una representación lineal y logarítmica . Las curvas convergen a una función delta de Dirac con un pico en u = 1 cuando β se acerca a 1, correspondiente a la función exponencial simple.
Figura 2 . Gráficos lineales y log-log de la función de distribución exponencial estirada vs para valores del parámetro de estiramiento β entre 0,1 y 0,9. |
Los momentos de la función original se pueden expresar como
El primer momento logarítmico de la distribución de tiempos de relajación exponencial simple es
donde Eu es la constante de Euler . [9]
Transformada de Fourier
Para describir los resultados de la espectroscopia o la dispersión inelástica, se necesita la transformada de Fourier de seno o coseno de la exponencial estirada. Debe calcularse mediante integración numérica o a partir de una expansión en serie. [10] La serie aquí, así como la de la función de distribución, son casos especiales de la función Fox-Wright . [11] Para propósitos prácticos, la transformada de Fourier puede ser aproximada por la función Havriliak-Negami , [12] aunque hoy en día el cálculo numérico se puede hacer de manera tan eficiente [13] que ya no hay ninguna razón para no usar el Kohlrausch-Williams –Funcionan los vatios en el dominio de la frecuencia.
Historia y otras aplicaciones
Como se dijo en la introducción, la exponencial estirada fue introducida por el físico alemán Rudolf Kohlrausch en 1854 para describir la descarga de un condensador ( jarra de Leyden ) que usaba vidrio como medio dieléctrico. El siguiente uso documentado es el de Friedrich Kohlrausch , hijo de Rudolf, para describir la relajación torsional. A. Werner lo usó en 1907 para describir desintegraciones de luminiscencia complejas; Theodor Förster en 1949 como la ley de desintegración de la fluorescencia de los donantes de energía electrónica.
Fuera de la física de la materia condensada, la exponencial estirada se ha utilizado para describir las tasas de eliminación de cuerpos pequeños extraviados en el sistema solar, [14] la señal de resonancia magnética ponderada por difusión en el cerebro, [15] y la producción de pozos de gas no convencionales. [dieciséis]
En probabilidad,
Si la distribución integrada es una exponencial estirada, la función de densidad de probabilidad normalizada viene dada por
Tenga en cuenta que, de forma confusa, algunos autores [17] han utilizado el nombre "exponencial estirado" para referirse a la distribución de Weibull .
Funciones modificadas
Una función exponencial estirada modificada
con un exponente β lentamente dependiente de t se ha utilizado para las curvas de supervivencia biológica. [18] [19]
Comunicaciones inalámbricas
En las comunicaciones inalámbricas, se ha demostrado que aparece una versión escalada de la función exponencial estirada en la transformada de Laplace para la potencia de interferencia. cuando las ubicaciones de los transmisores se modelan como un proceso de punto de Poisson 2D sin una región de exclusión alrededor del receptor. [20]
La Transformada de Laplace se puede escribir para una distribución de desvanecimiento arbitraria de la siguiente manera:
dónde es el poder del desvanecimiento, es el exponente de la pérdida de trayectoria , es la densidad del proceso de puntos de Poisson 2D, es la función Gamma, y es la expectativa de la variable .
La misma referencia también muestra cómo obtener la transformada de Laplace inversa para la exponencial estirada para entero de orden superior de enteros de orden inferior y .
Referencias
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enlaces externos
- J. Wuttke: biblioteca libkww C para calcular la transformada de Fourier de la función exponencial estirada