Maridaje weil

En matemáticas , el emparejamiento de Weil es un emparejamiento ( forma bilineal , aunque con notación multiplicativa ) en los puntos de orden que dividen n de una curva elíptica E , tomando valores en las raíces n - ésimas de la unidad . De manera más general, existe un emparejamiento de Weil similar entre los puntos de orden n de una variedad abeliana y su dual. Fue introducido por André Weil ( 1940 ) para los jacobianos de curvas, quien dio una definición algebraica abstracta; los resultados correspondientes para funciones elípticaseran conocidos y pueden expresarse simplemente mediante el uso de la función sigma de Weierstrass .

Elija una curva elíptica E definida sobre un campo K , y un número entero n > 0 (requerimos que n sea coprime a char ( K ) si char ( K )> 0) tal que K contiene una raíz primitiva n-ésima de la unidad . Entonces se sabe que la n- torsión es un producto cartesiano de dos grupos cíclicos de orden n . El emparejamiento de Weil produce una raíz n -ésima de unidad ${\ Displaystyle E ({\ overline {K}})}$

por medio de la teoría de Kummer , para dos puntos cualesquiera , donde y . ${\ Displaystyle P, Q \ en E (K) [n]}$ $E(K)[n]=\{T\in E(K)\mid n\cdot T=O\}$ $\mu _{n}=\{x\in K\mid x^{n}=1\}$

Una construcción realista del emparejamiento de Weil es la siguiente. Elija una función F en el campo de función de E sobre el cierre algebraico de K con divisor

Entonces F tiene un cero simple en cada punto P + kQ , y un polo simple en cada punto kQ si estos puntos son todos distintos. Entonces F está bien definido hasta la multiplicación por una constante. Si G es la traslación de F por Q , entonces, por construcción, G tiene el mismo divisor, por lo que la función G / F es constante.

tendremos una raíz n -ésima de la unidad (ya que traducir n veces debe dar 1) distinta de 1. Con esta definición se puede demostrar que w es alternante y bilineal, ^[1] dando lugar a un emparejamiento no degenerado en el n- torsión.