En matemáticas , un emparejamiento es un mapa R - bilineal del producto cartesiano de dos R - módulos , donde el anillo subyacente R es conmutativo .
Definición
Deje que R sea un anillo conmutativo con unidad , y dejar que M , N y L sea R -modules .
Un emparejamiento es cualquier mapa R- bilineal. Es decir, satisface
- ,
- y
para cualquier y cualquier y cualquier . De manera equivalente, un emparejamiento es un mapa lineal R
dónde denota el producto tensorial de M y N .
Un emparejamiento también se puede considerar como un mapa lineal R , que coincide con la primera definición estableciendo .
Un emparejamiento se llama perfecto si el mapa de arribaes un isomorfismo de R -módulos.
Un emparejamiento se llama no degenerado a la derecha si para el mapa anterior tenemos que para todos implica ; similar,se llama no degenerado a la izquierda si para todos implica .
Un emparejamiento se llama alternante si y para todos m . En particular, esto implica, mientras que la bilinealidad muestra . Por lo tanto, para un emparejamiento alterno,.
Ejemplos de
Cualquier producto escalar en un espacio vectorial real V es un emparejamiento (establezca M = N = V , R = R en las definiciones anteriores).
El mapa de determinantes (matrices 2 × 2 sobre k ) → k puede verse como un emparejamiento.
El mapa de Hopf Escrito como es un ejemplo de emparejamiento. Por ejemplo, Hardie et al. [1] presentan una construcción explícita del mapa utilizando modelos poset.
Emparejamientos en criptografía
En criptografía , a menudo se utiliza la siguiente definición especializada: [2]
Dejar ser grupos aditivos y un grupo multiplicativo , todos de orden primo . Dejarser generadores de y respectivamente.
Un emparejamiento es un mapa:
para lo cual se cumple lo siguiente:
- Bilinealidad :
- No degeneración :
- Para fines prácticos, tiene que ser computable de una manera eficiente
Tenga en cuenta que también es común en la literatura criptográfica que todos los grupos se escriban en notación multiplicativa.
En los casos en que , el emparejamiento se llama simétrico. Comoes cíclico , el mapaserá conmutativo ; es decir, para cualquier, tenemos . Esto se debe a que para un generador, existen enteros , tal que y . Por lo tanto.
El emparejamiento de Weil es un concepto importante en la criptografía de curva elíptica ; por ejemplo, puede usarse para atacar ciertas curvas elípticas (ver ataque MOV ). Este y otros emparejamientos se han utilizado para desarrollar esquemas de cifrado basados en identidad .
Usos ligeramente diferentes de la noción de emparejamiento
Los productos escalares en espacios vectoriales complejos a veces se denominan emparejamientos, aunque no son bilineales. Por ejemplo, en la teoría de la representación , se tiene un producto escalar sobre los caracteres de representaciones complejas de un grupo finito que se denomina frecuentemente emparejamiento de caracteres .
Ver también
Referencias
- ^ Hardie KA1; Vermeulen JJC; Witbooi PJ, Un emparejamiento no trivial de espacios T0 finitos, Topología y sus aplicaciones, Volumen 125, Número 3, 20 de noviembre de 2002, págs. 533–542.
- ^ Dan Boneh, Matthew K. Franklin, cifrado basado en identidad del emparejamiento de Weil , SIAM J. of Computing, vol. 32, núm. 3, págs. 586–615, 2003.