En álgebra, el teorema de Weyl sobre la reducibilidad completa es un resultado fundamental en la teoría de las representaciones del álgebra de Lie (específicamente en la teoría de la representación de las álgebras de Lie semisimple ). Dejarser un álgebra de Lie semisimple sobre un campo de característica cero. El teorema establece que todo módulo de dimensión finita sobrees semisimple como módulo (es decir, una suma directa de módulos simples). [1]
El álgebra envolvente es semisimple
El teorema de Weyl implica (de hecho es equivalente a) que el álgebra envolvente de una representación de dimensión finita es un anillo semisimple de la siguiente manera.
Dada una representación de álgebra de Lie de dimensión finita , dejar ser la subálgebra asociativa del álgebra de endomorfismo de V generada por. El anillo A se llama álgebra envolvente de. Sies semisimple, luego A es semisimple. [2] (Demostración: dado que A es un álgebra de dimensión finita, es un anillo artiniano; en particular, el radical J de Jacobson es nilpotente. Si V es simple, entonces implica que . En general, J mata cada submódulo simple de V ; en particular, J mata a V y, por tanto, J es cero.) A la inversa, si A es semisimple, V es un módulo A semisimple ; es decir, semisimple como-módulo. (Tenga en cuenta que un módulo sobre un anillo semisimple es semisimple, ya que un módulo es un cociente de un módulo libre y "semisimple" se conserva en las construcciones libre y cociente).
Aplicación: preservación de la descomposición de Jordan
A continuación se muestra una aplicación típica. [3]
Proposición - Letser un álgebra de Lie semisimple de dimensión finita sobre un campo de característica cero. [4]
- Existe un par de elementos únicos en tal que , es semisimple, es nilpotente y .
- Si es una representación de dimensión finita, entonces y , dónde denotar la descomposición de Jordan de las partes semisimple y nilpotente del endomorfismo .
En resumen, las partes semisimple y nilpotente de un elemento de están bien definidos y se determinan independientemente de una representación fiel de dimensión finita.
Prueba : Primero probamos el caso especial de (i) y (ii) cuandoes la inclusión; es decir, es una subálgebra de . Dejar ser la descomposición de Jordan del endomorfismo , dónde son endomorfismos semisimple y nilpotente en . Ahora,también tiene la descomposición de Jordan, que se puede mostrar (ver descomposición de Jordan-Chevalley # álgebras de Lie ) para respetar la descomposición de Jordan anterior; es decir, son las partes semisimple y nilpotente de . Desde son polinomios en entonces, vemos . Por tanto, son derivaciones de. Desde es semisimple, podemos encontrar elementos en tal que y de manera similar para . Ahora, sea A el álgebra envolvente de; es decir, la subálgebra del álgebra de endomorfismo de V generada por. Como se señaló anteriormente, A tiene cero radicales de Jacobson. Desde, vemos eso es un elemento nilpotent en el centro de A . Pero, en general, un nilpotente central pertenece al radical de Jacobson; por eso, y así también . Esto prueba el caso especial.
En general, es semisimple (resp. nilpotente) cuando es semisimple (resp. nilpotente). [ aclaración necesaria ] Esto da inmediatamente (i) y (ii).
Pruebas
Prueba analítica
La demostración original de Weyl (para álgebras de Lie complejas semisimplejas) era de naturaleza analítica: usó el famoso truco unitario . Específicamente, se puede demostrar que todo álgebra de Lie semisimple compleja es la complejidad del álgebra de Lie de un grupo de Lie compacto simplemente conectado . [5] (Si, por ejemplo,, luego .) Dada una representación de en un espacio vectorial primero se puede restringir al álgebra de mentira de . Entonces, desdeestá simplemente conectado , [6] hay una representación asociada de . Integración terminada produce un producto interior en para cual es unitario. [7] Reducibilidad completa de Entonces, los argumentos inmediatos y elementales muestran que la representación original de también es completamente reducible.
Prueba algebraica 1
Dejar ser una representación de dimensión finita de un álgebra de Lie sobre un campo de característica cero. El teorema es una consecuencia fácil del lema de Whitehead , que dice es sobreyectiva, donde un mapa lineal es una derivación si. La prueba se debe esencialmente a Whitehead. [8]
Dejar ser una subrepresentación. Considere el subespacio vectorial que consta de todos los mapas lineales tal que y . Tiene una estructura de-módulo dado por: para ,
- .
Ahora, elige alguna proyección en W y considere dada por . Desde es una derivación, por el lema de Whitehead, podemos escribir para algunos . Entonces tenemos; es decir es -lineal. Además, como t mata, es un idempotente tal que . El núcleo de es entonces una representación complementaria a .
Véase también el libro de álgebra homológica de Weibel .
Prueba algebraica 2
El lema de Whitehead se prueba típicamente por medio del elemento cuadrático de Casimir del álgebra envolvente universal , [9] y también hay una prueba del teorema que usa el elemento de Casimir directamente en lugar del lema de Whitehead.
Dado que el elemento Casimir cuadrático está en el centro del álgebra envolvente universal, el lema de Schur nos dice que actúa como múltiple de la identidad en la representación irreductible de con mayor peso . Un punto clave es establecer quees distinto de cero siempre que la representación no sea trivial. Esto se puede hacer mediante un argumento general [10] o mediante la fórmula explícita para.
Considere un caso muy especial del teorema sobre reducibilidad completa: el caso donde una representación contiene un subespacio no trivial, irreducible e invariante de la codimensión uno. Dejar denotar la acción de en . Desde no es irreductible, no es necesariamente un múltiplo de la identidad, pero es un operador auto-entrelazado para . Entonces la restricción de a es un múltiplo distinto de cero de la identidad. Pero desde el cociente es una representación unidimensional, y por lo tanto trivial, de , la acción de en el cociente es trivial. Entonces se sigue fácilmente que debe tener un kernel distinto de cero, y el kernel es un subespacio invariante, ya que se entrelaza a sí mismo. El núcleo es entonces un subespacio invariante unidimensional, cuya intersección cones cero. Por lo tanto, es un complemento invariante de , así que eso se descompone como una suma directa de subespacios irreductibles:
- .
Aunque esto establece solo un caso muy especial del resultado deseado, este paso es en realidad el crítico en el argumento general.
Prueba algebraica 3
El teorema se puede deducir de la teoría de los módulos Verma , que caracteriza un módulo simple como un cociente de un módulo Verma por un submódulo máximo . [11] Este enfoque tiene la ventaja de que puede usarse para debilitar los supuestos de dimensionalidad finita (en álgebra y representación).
Dejar ser una representación de dimensión finita de un álgebra de Lie semisimple de dimensión finita sobre un campo algebraicamente cerrado de característica cero. Dejarser la subálgebra de Borel determinada por la elección de una subálgebra de Cartan y raíces positivas. Dejar. Luego es un -módulo y por lo tanto tiene el -descomposición espacial de peso:
dónde . Para cada, elegir y la -submódulo generado por y la -submódulo generado por . Reclamamos:. Suponer. Según el teorema de Lie , existe un-vector de peso en ; así, podemos encontrar un-peso vector tal que para algunos entre los generadores Chevalley . Ahora, tiene peso . Desde está parcialmente ordenado, hay un tal que ; es decir,. Pero esto es una contradicción ya queson ambos pesos primitivos (se sabe que los pesos primitivos son incomparables [ aclaración necesaria ] ). Del mismo modo, cada es tan simple como un -módulo. De hecho, si no es simple, entonces, para algunos, contiene algún vector distinto de cero que no es un vector de mayor peso; de nuevo una contradicción. [ aclaración necesaria ]
enlaces externos
- Una publicación de blog de Akhil Mathew
Referencias
- ^ Teorema 10.9 de Hall 2015
- ↑ Jacobson 1962 , Cap. II, § 5, Teorema 10.
- ↑ Jacobson 1962 , Cap. III, § 11, Teorema 17.
- ^ Nota editorial: este hecho generalmente se establece para un campo de característica cero, pero la prueba solo necesita que el campo base sea perfecto.
- ^ Teorema de Knapp 2002 6.11
- ^ Teorema de Hall 2015 5.10
- ^ Teorema 4.28 de Hall 2015
- ↑ Jacobson 1961 , Cap. III, párrafo 7.
- ^ Salón 2015 Sección 10.3
- ^ Humphreys 1973 Sección 6.2
- ^ Kac 1990 , Lema 9.5.
- Hall, Brian C. (2015). Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental . Textos de Posgrado en Matemáticas. 222 (2ª ed.). Saltador. ISBN 978-3319134666.
- Humphreys, James E. (1973). Introducción a las álgebras de mentira y teoría de la representación . Textos de Posgrado en Matemáticas. 9 (Segunda impresión, edición revisada). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90053-5.
- Jacobson, Nathan , álgebras de Lie , republicación del original de 1962. Dover Publications, Inc., Nueva York, 1979. ISBN 0-486-63832-4
- Kac, Víctor (1990). Álgebras de Lie de dimensión infinita (3ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-46693-8.
- Knapp, Anthony W. (2002), Grupos de mentiras más allá de una introducción , Progreso en matemáticas, 140 (2a ed.), Boston: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4259-5
- Weibel, Charles A. (1995). Introducción al álgebra homológica . Prensa de la Universidad de Cambridge.