En matemáticas , el truco unitario es un recurso en la teoría de la representación de los grupos de Lie , introducido por Adolf Hurwitz ( 1897 ) para el grupo lineal especial y por Hermann Weyl para los grupos semisimple generales. Se aplica a mostrar que la teoría de la representación de algún grupo G está en una forma cualitativa controlada por la de algún otro grupo compacto K . Un ejemplo importante es aquel en el que G es el grupo lineal general complejo y K el grupo unitarioactuando sobre vectores del mismo tamaño. Del hecho de que las representaciones de K son completamente reducibles , se concluye lo mismo para las de G , al menos en dimensiones finitas.
La relación entre G y K que impulsa este sentido se expresa tradicionalmente en los términos que el álgebra de Lie de K es una forma real de la de G . En la teoría de grupos algebraicos , la relación también se puede poner de que K es un subconjunto denso de G , para la topología de Zariski .
El truco funciona para los grupos reductivos de Lie , de los cuales un caso importante son los grupos de Lie semisimple .
Teorema de weyl
La reducibilidad completa de las representaciones lineales de dimensión finita de grupos compactos, o grupos de Lie semisimples conectados y álgebras de Lie semisimples complejas se conoce a veces con el nombre de teorema de Weyl . [1] Un resultado relacionado, que la cubierta universal de un grupo Lie semisimple compacto también es compacta, también recibe el mismo nombre. [2]
Historia
Adolf Hurwitz había demostrado cómo la integración sobre un grupo de Lie compacto podía usarse para construir invariantes, en los casos de grupos unitarios y grupos ortogonales compactos . Issai Schur en 1924 demostró que esta técnica se aplicaba para mostrar la reducibilidad completa de las representaciones de tales grupos mediante la construcción de un producto interno invariante. Weyl extendió el método de Schur a álgebras de Lie semisimple complejas al mostrar que tenían una forma real compacta . [3]
Notas
- ^ "Conjunto completamente reducible" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- ^ "Grupo de mentiras, compacto" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- ^ Nicolas Bourbaki , Grupos de Lie y álgebras de Lie (1989), p. 426.
Referencias
- VS Varadarajan, Introducción al análisis armónico en grupos de Lie semisimple (1999), p. 49.
- Wulf Rossmann, Grupos de Lie: una introducción a través de grupos lineales (2006), p. 225.
- Roe Goodman, Nolan R. Wallach, Simetría, representaciones e invariantes (2009), pág. 171.
- Hurwitz, A. (1897), "Über die Erzeugung der Invarienten durch Integration", Nachrichten Ges. Wiss. Gotinga : 71–90