En matemáticas, específicamente en la teoría de la representación , una representación semisimple (también llamada representación completamente reducible ) es una representación lineal de un grupo o un álgebra que es una suma directa de representaciones simples (también llamadas representaciones irreductibles ). [1] Es un ejemplo de la noción matemática general de semisimplicidad .
Muchas representaciones que aparecen en las aplicaciones de la teoría de la representación son semisimples o pueden aproximarse mediante representaciones semisimples. Un módulo semisimple sobre un álgebra sobre un campo es un ejemplo de representación semisimple. Por el contrario, una representación semisimple de un grupo G sobre un campo k es un módulo semisimple sobre el anillo de grupo k [ G ].
Caracterizaciones equivalentes
Sea V una representación de un grupo G ; o más generalmente, sea V un espacio vectorial con un conjunto de endomorfismos lineales que actúan sobre él. En general, se dice que un espacio vectorial sobre el que actúa un conjunto de endomorfismos lineales es simple (o irreductible) si los únicos subespacios invariantes para esos operadores son cero y el espacio vectorial en sí; una representación semisimple es entonces una suma directa de representaciones simples en ese sentido. [1]
Los siguientes son equivalentes: [2]
- V es semisimple como representación.
- V es una suma de subrepresentaciones simples .
- Cada subrepresentación W de V admite una representación complementaria : una subrepresentación W ' tal que.
Las equivalencias de las condiciones anteriores se pueden mostrar con base en el siguiente lema, que es de interés independiente:
Lema [3] - Sea p : V → W un mapa sobreyectivo equivariante entre representaciones. Si V es semisimple, p se divide ; es decir, admite una sección .
Escribir dónde son representaciones simples. Sin pérdida de generalidad, podemos asumirson subrepresentaciones; es decir, podemos asumir que la suma directa es interna. Por simplicidad, ya sea o . Por lo tanto, dónde es tal que para cada , . Luegoes una sección de la p .
: Toma p como la sobreyección natural. Como V es semisimple, p se divide y, por lo tanto, a través de una sección,es isomorfo a un subrepretation que es complementaria a W .
: Primero observaremos que toda subrepresentación W distinta de cero tiene una subrepresentación simple. Al reducir W a una subrepresentación cíclica (distinta de cero) , podemos asumir que se genera de forma finita. Entonces tiene una subrepresentación máxima T . Por la condición 3., para algunos . Por ley modular, implica. Luegoes una simple subrepresentación de W ("simple" debido a la maximalidad). Esto establece la observación. Ahora toma ser la suma de todas las subrepresentaciones simples, que, por 3., admite una representación complementaria . Si, luego, por la primera observación, contiene una subrepresentación simple y así , una tontería. Por eso,.
: [5] La implicación es una generalización directa de un hecho básico en álgebra lineal de que se puede extraer una base de un conjunto de expansión de un espacio vectorial. Esa es la afirmación que podemos mostrar es: cuando es una suma de subrepresentaciones simples, una descomposición semisimple , algún subconjunto , se puede extraer de la suma. Considere la familia de todas las sumas directas posibles con varios subconjuntos . Ponga el orden parcial en él diciendo que la suma directa sobre K es menor que la suma directa sobre J si. Lema de Zorn se aplica claramente a ella y nos da una suma directa máxima W . Ahora, para cada yo en yo , por simplicidad, o o . En el segundo caso, la suma directaes una contradicción a la maximalidad de W . Por eso,.
Ejemplos y no ejemplos
Representaciones unitarias
Una representación unitaria de dimensión finita (es decir, una representación que se factoriza a través de un grupo unitario ) es un ejemplo básico de una representación semisimple. Tal representación es semisimple ya que si W es una subrepresentación, entonces el complemento ortogonal de W es una representación complementaria [6] porque si y , luego para cualquier w en W ya que W es G -invariante, por lo que.
Por ejemplo, dada una representación compleja continua de dimensión finita de un grupo finito o un grupo compacto G , por el argumento de promediar, uno puede definir un producto interno en V que es G -invariante: es decir,, que es decir es un operador unitario y por lo tanto es una representación unitaria. [6] Por lo tanto, toda representación compleja continua de dimensión finita de G es semisimple. [7] Para un grupo finito, este es un caso especial del teorema de Maschke , que dice que una representación de dimensión finita de un grupo finito G sobre un campo k con una característica que no divide el orden de G es semisimple. [8] [9]
Representaciones de álgebras de Lie semisimple
Según el teorema de Weyl sobre la reducibilidad completa , toda representación de dimensión finita de un álgebra de Lie semisimple sobre un campo de característica cero es semisimple. [10]
Polinomios mínimos separables
Dado un endomorfismo lineal T de un espacio vectorial V , V es semisimple como una representación de T (es decir, T es un operador semisimple ) si y solo si el polinomio mínimo de T es separable; es decir, un producto de distintos polinomios irreductibles. [11]
Representación semisimple asociada
Dada una representación de dimensión finita V , el teorema de Jordan-Hölder dice que hay una filtración por subrepresentaciones: tal que cada cociente sucesivo es una simple representación. Entonces el espacio vectorial asociadoes una representación semisimple llamado una representación semisimple asociada , la cual, hasta un isomorfismo, se determina de forma única por V . [12]
Grupo unipotente sin ejemplo
Una representación de un grupo unipotente generalmente no es semisimple. Llevar ser el grupo formado por matrices reales ; actúa sobrede una manera natural y marcas de V una representación de G . Si W es una subrepresentación de V que tiene dimensión 1, entonces un cálculo simple muestra que debe ser abarcado por el vector. Es decir, hay exactamente tres G -subrepresentaciones de V ; en particular, V no es semisimple (ya que una subrepresentación unidimensional única no admite una representación complementaria). [13]
Descomposición semisimple y multiplicidad
La descomposición de una representación semisimple en representaciones simples, llamada descomposición semisimple, no tiene por qué ser única; por ejemplo, para una representación trivial, las representaciones simples son espacios vectoriales unidimensionales y, por lo tanto, una descomposición semisimple equivale a una elección de una base del espacio vectorial de representación. [14] La descomposición isotípica , por otro lado, es un ejemplo de una descomposición única. [15]
Sin embargo, para una representación semisimple de dimensión finita V sobre un campo algebraicamente cerrado, el número de representaciones simples hasta los isomorfismos que aparecen en la descomposición de V (1) son únicos y (2) determinan completamente la representación hasta los isomorfismos; [16] esto es una consecuencia del lema de Schur de la siguiente manera. Suponga que se da una representación semisimple de dimensión finita V sobre un campo algebraicamente cerrado: por definición, es una suma directa de representaciones simples. Al agrupar representaciones simples en la descomposición que son isomorfas entre sí, hasta un isomorfismo, se encuentra una descomposición (no necesariamente única): [16]
dónde son representaciones simples, mutuamente no isomorfas entre sí, y son números enteros positivos. Por el lema de Schur,
- ,
dónde se refiere a los mapas lineales equivariantes . Además, cada no cambia si se reemplaza por otra representación simple isomorfa para . Por tanto, los enterosson independientes de las descomposiciones elegidas; son las multiplicidades de representaciones simples, Hasta isomorfismos, en V . [17]
En general, dada una representación de dimensión finita de un grupo G sobre un campo k , la composiciónse llama el carácter de. [18] Cuando es semisimple con la descomposición como arriba, el rastro es la suma de las trazas de con multiplicidades y, por tanto, como funciones en G ,
dónde son los personajes de . Cuando G es un grupo finito o más generalmente un grupo compacto yes una representación unitaria con el producto interno dado por el argumento de promediado, las relaciones de ortogonalidad de Schur dicen: [19] los caracteres irreductibles (caracteres de representaciones simples) de G son un subconjunto ortonormal del espacio de funciones de valor complejo en G y por lo tanto.
Descomposición isotípica
Hay una descomposición de una representación Semisimple que es único, llamado la descomposición de isotipo de la representación. Por definición, dada una representación simple S , el componente isotípico del tipo S de una representación V es la suma de todas las subrepresentaciones de V que son isomorfas a S ; [15] tenga en cuenta que el componente también es isomorfo a la suma directa de alguna elección de subrepresentaciones isomorfas a S (por lo que el componente es único, mientras que los sumandos no son necesarios).
Entonces, la descomposición isotípica de una representación semisimple V es la descomposición de suma directa (única): [15] [20]
dónde es el conjunto de clases de isomorfismo de representaciones simples de V yes el componente isotípico de V de tipo S para algunos.
Ejemplo
Dejar ser el espacio de polinomios homogéneos de grado tres sobre los números complejos en las variables . Luego actúa sobre por permutación de las tres variables. Esta es una representación compleja de dimensión finita de un grupo finito, por lo que es semisimple. Por lo tanto, esta representación de 10 dimensiones se puede dividir en tres componentes isotípicos, cada uno correspondiente a una de las tres representaciones irreductibles de. En particular, contiene tres copias de la representación trivial, una copia de la representación del signo y tres copias de la representación bidimensional irreducible de . Por ejemplo, el lapso de y es isomorfo a . Esto se puede ver más fácilmente escribiendo este subespacio bidimensional como
- .
Otra copia de se puede escribir de forma similar:
- .
Entonces puede el tercero:
- .
Luego es el componente isotípico del tipo en .
Terminación
En el análisis de Fourier , se descompone una función (agradable) como el límite de la serie de Fourier de la función. De la misma manera, una representación en sí misma puede no ser semisimple pero puede ser la terminación (en un sentido adecuado) de una representación semisimple. El caso más básico de esto es el teorema de Peter-Weyl , que descompone la representación regular izquierda (o derecha) de un grupo compacto en la terminación del espacio de Hilbert de la suma directa de todas las representaciones unitarias simples. Como corolario, [21] hay una descomposición natural para= el espacio de Hilbert de (clases de) funciones cuadradas integrables en un grupo compacto G :
dónde significa la finalización de la suma directa y la suma directa se extiende sobre todas las clases de isomorfismo de representaciones unitarias simples de dimensión finita de G . [nota 1] Nótese aquí que toda representación unitaria simple (hasta un isomorfismo) aparece en la suma con la multiplicidad la dimensión de la representación.
Cuando el grupo G es un grupo finito, el espacio vectoriales simplemente el álgebra de grupo de G y también la compleción es vacía. Por tanto, el teorema simplemente dice que
Es decir, cada representación simple de G aparece en la representación regular con multiplicidad la dimensión de la representación. [22] Este es uno de los hechos estándar en la teoría de la representación de un grupo finito (y es mucho más fácil de probar).
Cuando el grupo G es el grupo circular , el teorema equivale exactamente al análisis clásico de Fourier. [23]
Aplicaciones a la física
En mecánica cuántica y física de partículas , el momento angular de un objeto se puede describir mediante representaciones complejas del grupo de rotación | SO (3) , todas las cuales son semisimples. [24] Debido a la conexión entre SO (3) y SU (2) , el espín no relativista de una partícula elemental se describe mediante representaciones complejas de SU (2) y el espín relativista se describe mediante representaciones complejas de SL 2 ( C ) , todos los cuales son semisimples. [24] En el acoplamiento de momento angular , los coeficientes de Clebsch-Gordan surgen de las multiplicidades de representaciones irreductibles que ocurren en la descomposición semisimple de un producto tensorial de representaciones irreductibles. [25]
Notas
- ^ Para ser precisos, el teorema se refiere a la representación regular de y la declaración anterior es un corolario.
Referencias
Citas
- ↑ a b Procesi 2007 , Cap. 6, § 1.1, Definición 1 (ii).
- ^ Procesi 2007 , cap. 6, párrafo 2.1.
- ^ Anderson y Fuller 1992 , Proposición 9.4.
- ^ Anderson y Fuller 1992 , Teorema 9.6.
- ^ Anderson y Fuller 1992 , Lema 9.2.
- ^ a b Fulton y Harris 1991 , § 9.3. A
- ↑ Hall 2015 , Teorema 4.28
- ^ Fulton y Harris 1991 , Corolario 1.6.
- ^ Serre 1977 , Teorema 2.
- ^ Teorema 10.9 de Hall 2015
- ↑ Jacobson , 1989 , § 3.5. Ejercicio 4.
- ^ Artin 1999 , cap. V, párrafo 14.
- ^ Fulton y Harris 1991 , justo después del corolario 1.6.
- ↑ Serre , 1977 , § 1.4. observación
- ↑ a b c Procesi 2007 , Cap. 6, párrafo 2.3.
- ^ a b Fulton y Harris 1991 , Proposición 1.8.
- ^ Fulton y Harris 1991 , § 2.3.
- ^ Fulton y Harris 1991 , § 2.1. Definición
- ↑ Serre , 1977 , § 2.3. Teorema 3 y § 4.3.
- ↑ Serre , 1977 , § 2.6. Teorema 8 (i)
- ^ Procesi 2007 , cap. 8, Teorema 3.2.
- ↑ Serre , 1977 , § 2.4. Corolario 1 de la Proposición 5
- ^ Procesi 2007 , cap. 8, párrafo 3.3.
- ↑ a b Hall, Brian C. (2013). "Momento angular y giro". Teoría cuántica para matemáticos . Textos de Posgrado en Matemáticas. 267 . Springer . págs. 367–392. ISBN 978-1461471158.
- ^ Klimyk, AU; Gavrilik, AM (1979). "Elementos de la matriz de representación y coeficientes de Clebsch-Gordan de los grupos de Lie semisimple". Revista de Física Matemática . 20 (1624): 1624–1642. Código Bibliográfico : 1979JMP .... 20.1624K . doi : 10.1063 / 1.524268 .
Fuentes
- Anderson, Frank W .; Fuller, Kent R. (1992), Anillos y categorías de módulos , Textos de posgrado en matemáticas , 13 (2a ed.), Nueva York, NY: Springer-Verlag, págs. X + 376, doi : 10.1007 / 978-1- 4612-4418-9 , ISBN 0-387-97845-3, MR 1245487; NB: esta referencia, nominalmente, considera un módulo semisimple sobre un anillo, no sobre un grupo, pero esto no es una diferencia material (la parte abstracta de la discusión también pasa por grupos).
- Artin, Michael (1999). "Anillos no conmutativos" (PDF) .
- Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer plato . Textos de Posgrado en Matemáticas , Lecturas en Matemáticas. 129 . Nueva York: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. Señor 1153249 . OCLC 246650103 .
- Hall, Brian C. (2015). Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental . Textos de Posgrado en Matemáticas. 222 (2ª ed.). Saltador. ISBN 978-3319134666.
- Jacobson, Nathan (1989), Álgebra básica II (2a ed.), WH Freeman, ISBN 978-0-7167-1933-5
- Procesi, Claudio (2007). Grupos de mentiras: un acercamiento a través de invariantes y representación . Saltador. ISBN 9780387260402..
- Serre, Jean-Pierre (1 de septiembre de 1977). Representaciones lineales de grupos finitos . Textos de Posgrado en Matemáticas , 42 . Nueva York – Heidelberg: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90190-9. Señor 0450380 . Zbl 0355.20006 .