En álgebra homológica , los lemas de Whitehead (nombrados en honor a JHC Whitehead ) representan una serie de afirmaciones con respecto a la teoría de la representación de álgebras de Lie semisimple de dimensión finita en el cero característico. Históricamente, se considera que condujeron al descubrimiento de la cohomología del álgebra de Lie . [1]
Normalmente se hace la distinción entre el primer y el segundo lema de Whitehead para los enunciados correspondientes sobre la cohomología de primer y segundo orden, respectivamente, pero hay enunciados similares pertenecientes a la cohomología del álgebra de Lie en órdenes arbitrarios que también se atribuyen a Whitehead.
El primer lema de Whitehead es un paso importante hacia la demostración del teorema de Weyl sobre la reducibilidad completa .
Sin mencionar los grupos de cohomología, se puede enunciar el primer lema de Whitehead de la siguiente manera: ser un álgebra de Lie semisimple de dimensión finita sobre un campo de característica cero, V un módulo de dimensión finita sobre él, y un mapa lineal tal que
- .
Entonces existe un vector tal que para todos . En términos de la cohomología del álgebra de Lie , esto es, por definición, equivalente al hecho de quepara cada una de esas representaciones. La prueba usa un elemento Casimir (vea la prueba a continuación). [2]
De manera similar, el segundo lema de Whitehead establece que bajo las condiciones del primer lema, también .
Otro enunciado relacionado, que también se atribuye a Whitehead, describe la cohomología del álgebra de Lie en orden arbitrario: Dadas las mismas condiciones que en los dos enunciados anteriores, pero además ser irreductible bajo el-accion y deja actuar de forma no trivial, así que . Luego para todos . [3]
Como arriba, deja ser un álgebra de Lie semisimple de dimensión finita sobre un campo de característica cero y una representación de dimensión finita (que es semisimple pero la prueba no usa ese hecho).
Dejar dónde es un ideal de . Entonces, desde es semisimple, la forma del rastro , relativo a , es no degenerado en . Dejar ser una base de y la base dual con respecto a esta forma de traza. Luego defina el elemento Casimir por
que es un elemento del álgebra envolvente universal de . Vía, actúa sobre V como un endomorfismo lineal (es decir,.) La propiedad clave es que se conmuta con en el sentido para cada elemento . También,
Ahora, por el lema de Fitting , tenemos la descomposición del espacio vectorial tal que es un endomorfismo nilpotente (bien definido) para y es un automorfismo para . Desde viaja con , cada es un -submódulo. Por tanto, basta con probar el lema por separado para y .
Primero, suponga es un endomorfismo nilpotente. Entonces, por la primera observación,; es decir,es una representación trivial. Desde, la condición en implica que para cada ; es decir, el vector cero satisface el requisito.
Segundo, suponga es un automorfismo. Para simplificar la notación, dejaremos y escribe . También dejadenotar la forma de seguimiento utilizada anteriormente. Dejar, que es un vector en . Luego
Ahora,
y desde , el segundo término de la expansión de es
Por lo tanto,
Desde es invertible y viaja con , el vector Tiene la propiedad requerida.