En matemáticas , la cohomología del álgebra de Lie es una teoría de cohomología para las álgebras de Lie . Fue introducido por primera vez en 1929 por Élie Cartan para estudiar la topología de los grupos de Lie y los espacios homogéneos [1] relacionando los métodos cohomológicos de Georges de Rham con las propiedades del álgebra de Lie. Posteriormente, Claude Chevalley y Samuel Eilenberg ( 1948 ) lo ampliaron a coeficientes en un módulo de Lie arbitrario . [2]
Motivación
Si es un grupo de Lie compacto simplemente conectado , entonces está determinado por su álgebra de Lie, por lo que debería ser posible calcular su cohomología a partir del álgebra de Lie. Esto puede hacerse de la siguiente manera. Su cohomología es la cohomología de De Rham del complejo de formas diferenciales en. Usando un proceso de promediado, este complejo puede ser reemplazado por el complejo de formas diferenciales invariantes a la izquierda . Las formas invariantes a la izquierda, por su parte, están determinadas por sus valores en la identidad, de modo que el espacio de formas diferenciales invariantes a la izquierda se puede identificar con el álgebra exterior del álgebra de Lie, con un diferencial adecuado.
La construcción de este diferencial en un álgebra exterior tiene sentido para cualquier álgebra de Lie, por lo que se utiliza para definir la cohomología del álgebra de Lie para todas las álgebras de Lie. De manera más general, se usa una construcción similar para definir la cohomología del álgebra de Lie con coeficientes en un módulo.
Si es un grupo de Lie no compacto simplemente conectado , la cohomología del álgebra de Lie del álgebra de Lie asociada no reproduce necesariamente la cohomología de De Rham de . La razón de esto es que el paso del complejo de todas las formas diferenciales al complejo de formas diferenciales invariantes a la izquierda utiliza un proceso de promediado que solo tiene sentido para grupos compactos.
Definición
Dejar ser un álgebra de mentira sobre un anillo conmutativo R con álgebra envolvente universal , y sea M una representación de (equivalentemente, un -módulo). Considerando R como una representación trivial de, se definen los grupos de cohomología
(vea el functor Ext para la definición de Ext). De manera equivalente, estos son los functores derivados de la derecha del functor de submódulo invariante exacto izquierdo
De manera análoga, se puede definir la homología del álgebra de Lie como
(ver el functor Tor para la definición de Tor), que es equivalente a los functores derivados de la izquierda del functor de covariantes exactos de la derecha
Algunos resultados básicos importantes sobre la cohomología de las álgebras de Lie incluyen los lemas de Whitehead , el teorema de Weyl y el teorema de descomposición de Levi .
Complejo Chevalley-Eilenberg
Dejar ser un álgebra de mentira sobre un campo , con una acción izquierda en el -módulo . Los elementos del complejo Chevalley-Eilenberg
se llaman cochains de a . Un homogéneo-cochain de a es por tanto una alternancia -función multilineal . Cuándo se genera finitamente como espacio vectorial, el complejo de Chevalley-Eilenberg es canónicamente isomórfico al producto tensorial , dónde denota el espacio vectorial dual de .
El soporte de Lie en induce una aplicación de transposiciónpor dualidad. Esto último es suficiente para definir una derivación. del complejo de cochains de a extendiendo según la regla graduada de Leibniz. De la identidad de Jacobi se desprende que satisface y de hecho es un diferencial. En esta configuración, es visto como una trivial -módulo mientras pueden pensarse como constantes.
En general, dejemos denotar la acción izquierda de en y considerarlo como una aplicación . El diferencial de Chevalley-Eilenberg es entonces la derivación única que se extiende y de acuerdo con la regla graduada de Leibniz , la condición de nula potencia siguiendo del homomorfismo del álgebra de Lie de a y la identidad de Jacobi en.
Explícitamente, el diferencial de la -cochain es el -cochain dado por: [3]
donde el signo de intercalación significa omitir ese argumento.
Cuándo es un grupo de Lie real con álgebra de Lie , el complejo de Chevalley-Eilenberg también puede identificarse canónicamente con el espacio de formas invariantes a la izquierda con valores en , denotado por . El diferencial de Chevalley-Eilenberg puede considerarse entonces como una restricción de la derivada covariante en el haz de fibras trivial . , equipado con la conexión equivariante asociado con la acción de la izquierda de en . En el caso particular donde está equipado con la acción trivial de , el diferencial de Chevalley-Eilenberg coincide con la restricción del diferencial de Rham en al subespacio de formas diferenciales invariantes a la izquierda.
Cohomología en pequeñas dimensiones
El grupo de cohomología cero es (por definición) las invariantes del álgebra de Lie que actúan sobre el módulo:
El primer grupo de cohomología es el espacio Der de derivaciones módulo el espacio Ider de derivaciones internas
- ,
donde una derivación es un mapa del álgebra de Lie a tal que
y se llama interior si viene dado por
para algunos en .
El segundo grupo de cohomología
es el espacio de clases de equivalencia de extensiones de álgebra de Lie
del álgebra de Lie por el módulo .
Del mismo modo, cualquier elemento del grupo de cohomología da una clase de equivalencia de formas de extender el álgebra de Lie a una "mentira -álgebra "con en grado cero y en el grado . [4] Una mentira-álgebra es un álgebra de Lie homotopía con términos distintos de cero solo en grados 0 a.
Ver también
- Formalismo BRST en física teórica.
- Cohomología Gelfand – Fuks
Referencias
- ^ Cartan, Élie (1929). "Sur les invariants intégraux de certains espaces homogènes clos". Annales de la Société Polonaise de Mathématique . 8 : 181-225.
- ^ Koszul, Jean-Louis (1950). "Homologie et cohomologie des algèbres de Lie" . Bulletin de la Société Mathématique de France . 78 : 65-127. doi : 10.24033 / bsmf.1410 . Archivado desde el original el 21 de abril de 2019 . Consultado el 3 de mayo de 2019 .
- ^ Weibel, Charles A. (1994). Introducción al álgebra homológica . Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 240.
- ^ Báez, John C .; Crans, Alissa S. (2004). "Álgebra de dimensión superior VI: Lie 2-álgebras". Teoría y aplicaciones de categorías . 12 : 492–528. arXiv : matemáticas / 0307263 . Bibcode : 2003math ...... 7263B . CiteSeerX 10.1.1.435.9259 .
- Chevalley, Claude ; Eilenberg, Samuel (1948), "Teoría de cohomología de grupos de Lie y álgebras de Lie", Transactions of the American Mathematical Society , Providence, RI: American Mathematical Society , 63 (1): 85-124, doi : 10.2307 / 1990637 , ISSN 0002 -9947 , JSTOR 1.990.637 , MR 0024908
- Hilton, Peter J .; Stammbach, Urs (1997), A course in homological álgebra , Graduate Texts in Mathematics, 4 (2a ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94823-2, Señor 1438546
- Knapp, Anthony W. (1988), grupos de Lie, álgebras de Lie y cohomología , notas matemáticas, 34 , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08498-5, MR 0938524
enlaces externos
- "Una introducción a la cohomología del álgebra de Lie" . Scholarpedia .