En la teoría de la homotopía (una rama de las matemáticas ), el teorema de Whitehead establece que si un mapeo continuo f entre los complejos CW X e Y induce isomorfismos en todos los grupos de homotopía , entonces f es una equivalencia de homotopía . Este resultado fue probado por JHC Whitehead en dos artículos históricos de 1949, y proporciona una justificación para trabajar con el concepto de un complejo CW que presentó allí. Es un resultado de modelo de topología algebraica., en el que el comportamiento de ciertos invariantes algebraicos (en este caso, grupos de homotopía) determina una propiedad topológica de un mapeo.
Declaración
Con más detalle, deje que X e Y sean espacios topológicos . Dado un mapeo continuo
y un punto x en X , considere para cualquier n ≥ 1 el homomorfismo inducido
donde π n ( X , x ) denota el n -ésimo grupo de homotopía de X con punto base x . (Para n = 0, π 0 ( X ) simplemente significa el conjunto de componentes de ruta de X ). Un mapa f es una equivalencia de homotopía débil si la función
es biyectiva , y los homomorfismos f * son biyectivos para todo x en X y todo n ≥ 1. (Para X e Y conectados por caminos , la primera condición es automática, y basta con indicar la segunda condición para un solo punto x en X. ) El teorema de Whitehead establece que una equivalencia de homotopía débil de un complejo CW a otro es una equivalencia de homotopía. (Es decir, el mapa f : X → Y tiene una homotopía inversa g : Y → X , lo cual no está del todo claro a partir de los supuestos). Esto implica la misma conclusión para los espacios X e Y que son homotopía equivalente a los complejos CW.
Combinando esto con el teorema de Hurewicz se obtiene un corolario útil: un mapa continuoentre complejos CW simplemente conectados que inducen un isomorfismo en todos los grupos de homología integral hay una equivalencia de homotopía.
Los espacios con grupos de homotopía isomórficos pueden no ser equivalentes de homotopía
Una advertencia: no es suficiente asumir que π n ( X ) es isomorfo a π n ( Y ) para cada n para concluir que X e Y son homotopía equivalentes. Realmente se necesita un mapa f : X → Y que induzca un isomorfismo en grupos de homotopía. Por ejemplo, tome X = S 2 × RP 3 e Y = RP 2 × S 3 . Entonces X e Y tienen el mismo grupo fundamental , a saber, el grupo cíclico Z / 2, y la misma cobertura universal, a saber, S 2 × S 3 ; por tanto, tienen grupos de homotopía isomórficos. Por otro lado, sus grupos de homología son diferentes (como puede verse en la fórmula de Künneth ); por tanto, X e Y no son equivalentes de homotopía.
El teorema de Whitehead no es válido para los espacios topológicos generales o incluso para todos los subespacios de R n . Por ejemplo, el círculo de Varsovia , un subconjunto compacto del plano, tiene todos los grupos de homotopía cero, pero el mapa desde el círculo de Varsovia a un solo punto no es una equivalencia de homotopía. El estudio de posibles generalizaciones del teorema de Whitehead a espacios más generales es parte del tema de la teoría de la forma .
Generalización a categorías de modelos
En cualquier categoría de modelo , una equivalencia débil entre objetos cofibrante-fibrante es una equivalencia de homotopía.
Referencias
- JHC Whitehead, homotopía combinatoria. Yo , Bull. Amer. Matemáticas. Soc., 55 (1949), 213–245
- JHC Whitehead, homotopía combinatoria. II. , Toro. Amer. Matemáticas. Soc., 55 (1949), 453–496
- A. Hatcher, topología algebraica , Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii + 544 págs. ISBN 0-521-79160-X y ISBN 0-521-79540-0 (ver teorema 4.5)