Teorema de Hurewicz

Da un homomorfismo de grupos de homotopía a grupos de homología.

En matemáticas , el teorema de Hurewicz es un resultado básico de la topología algebraica , que conecta la teoría de la homotopía con la teoría de la homología a través de un mapa conocido como homomorfismo de Hurewicz . El teorema lleva el nombre de Witold Hurewicz y generaliza los resultados anteriores de Henri Poincaré .

Declaración de los teoremas

Los teoremas de Hurewicz son un vínculo clave entre los grupos de homotopía y los grupos de homología .

Versión absoluta

Para cualquier espacio X conectado por camino y entero positivo n existe un homomorfismo de grupo

${\displaystyle h_{*}\colon \pi _{n}(X)\to H_{n}(X),}$

llamado homomorfismo de Hurewicz , desde el n -ésimo grupo de homotopía hasta el n -ésimo grupo de homología (con coeficientes enteros). Se da de la siguiente manera: se elige un generador canónico , luego se lleva una clase de mapas de homotopía .${\displaystyle u_{n}\in H_{n}(S^{n})}$${\displaystyle f\in \pi _{n}(X)}$${\displaystyle f_{*}(u_{n})\in H_{n}(X)}$

Porque este homomorfismo induce un isomorfismo${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle {\tilde {h}}_{*}\colon \pi _{1}(X)/[\pi _{1}(X),\pi _{1}(X)]\to H_{1}(X)}$

entre la abelianización del primer grupo de homotopía (el grupo fundamental ) y el primer grupo de homología.

Si y X están conectados , el mapa de Hurewicz es un isomorfismo. Además, el mapa de Hurewicz es un epimorfismo en este caso. ^[1]${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle h_{*}\colon \pi _{n}(X)\to H_{n}(X)}$${\displaystyle h_{*}\colon \pi _{n+1}(X)\to H_{n+1}(X)}$

Versión relativa

Para cualquier par de espacios y números enteros existe un homomorfismo${\displaystyle (X,A)}$${\displaystyle k>1}$

${\displaystyle h_{*}\colon \pi _{k}(X,A)\to H_{k}(X,A)}$

de grupos de homotopía relativa a grupos de homología relativa. El teorema relativo de Hurewicz establece que si ambos y están conectados y el par está conectado, entonces para y se obtiene factorizando la acción de . Esto se demuestra, por ejemplo, en Whitehead (1978) por inducción, demostrando a su vez la versión absoluta y el lema de adición de homotopía.${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle H_{k}(X,A)=0}$${\displaystyle k<n}$${\displaystyle H_{n}(X,A)}$${\displaystyle \pi _{n}(X,A)}$${\displaystyle \pi _{1}(A)}$

Este teorema relativo de Hurewicz es reformulado por Brown y Higgins (1981) como un enunciado sobre el morfismo

${\displaystyle \pi _{n}(X,A)\to \pi _{n}(X\cup CA),}$

donde denota el cono de . Esta declaración es un caso especial de un teorema de escisión homotópica , que involucra módulos inducidos para (módulos cruzados si ), que a su vez se deduce de un teorema de homotopía superior de van Kampen para grupos de homotopía relativa, cuya demostración requiere el desarrollo de técnicas de un grupoide de homotopía superior cúbica de un espacio filtrado.${\displaystyle CA}$${\displaystyle A}$${\displaystyle n>2}$${\displaystyle n=2}$

Versión triádica

Para cualquier tríada de espacios (es decir, un espacio X y subespacios A , B ) y un número entero existe un homomorfismo${\displaystyle (X;A,B)}$${\displaystyle k>2}$

${\displaystyle h_{*}\colon \pi _{k}(X;A,B)\to H_{k}(X;A,B)}$

desde grupos de homotopía de tríadas a grupos de homología de tríadas. Tenga en cuenta que

${\displaystyle H_{k}(X;A,B)\cong H_{k}(X\cup (C(A\cup B))).}$

El teorema triádico de Hurewicz establece que si X , A , B y están conectados, los pares y están -conectados y -conectados, respectivamente, y la tríada está -conectada, entonces para y se obtiene factorizando la acción de y el productos Whitehead generalizados. La demostración de este teorema utiliza un teorema de tipo van Kampen de homotopía superior para grupos de homotopía triádica, que requiere una noción del grupo fundamental de un n- cubo de espacios.${\displaystyle C=A\cap B}$${\displaystyle (A,C)}$${\displaystyle (B,C)}$${\displaystyle (p-1)}$${\displaystyle (q-1)}$${\displaystyle (X;A,B)}$${\displaystyle (p+q-2)}$${\displaystyle H_{k}(X;A,B)=0}$${\displaystyle k<p+q-2}$${\displaystyle H_{p+q-1}(X;A)}$${\displaystyle \pi _{p+q-1}(X;A,B)}$${\displaystyle \pi _{1}(A\cap B)}$${\displaystyle \operatorname {cat} ^{n}}$

Versión del conjunto simple

El teorema de Hurewicz para espacios topológicos también se puede establecer para conjuntos simpliciales n conectados que satisfacen la condición de Kan. ^[2]

Teorema racional de Hurewicz

Teorema racional de Hurewicz: ^{[3] [4]} Sea X un espacio topológico simplemente conectado con para . Entonces el mapa de Hurewicz ${\displaystyle \pi _{i}(X)\otimes \mathbb {Q} =0}$${\displaystyle i\leq r}$

${\displaystyle h\otimes \mathbb {Q} \colon \pi _{i}(X)\otimes \mathbb {Q} \longrightarrow H_{i}(X;\mathbb {Q} )}$

induce un isomorfismo y una sobreyección para .${\displaystyle 1\leq i\leq 2r}$${\displaystyle i=2r+1}$

Notas

1. Hatcher, Allen (2001), Topología algebraica , Cambridge University Press , p. 390, ISBN 978-0-521-79160-1
2. Asistentes, Paul G .; Jardine, John Frederick (1999), Teoría de la homotopía simple , Progreso en matemáticas, 174 , Basilea, Boston, Berlín: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-6064-1, III.3.6, 3.7
3. Klaus, Stephan; Kreck, Matthias (2004), "Una prueba rápida del teorema racional de Hurewicz y un cálculo de los grupos de esferas de homotopía racional", Procedimientos matemáticos de la Sociedad Filosófica de Cambridge , 136 (3): 617–623, doi : 10.1017 / s0305004103007114
4. Cartan, Henri ; Serre, Jean-Pierre (1952), "Espaces fibrés et groupes d'homotopie, II, Applications", Comptes rendus de l'Académie des Sciences , 2 (34): 393–395

Referencias

• Brown, Ronald (1989), "Teoremas triádicos de Van Kampen y teoremas de Hurewicz", Topología algebraica (Evanston, IL, 1988) , Contemporary Mathematics, 96 , Providence, RI: American Mathematical Society, págs. 39-57, doi : 10.1090 / conm / 096/1022673 , ISBN 9780821851029, MR  1022673
• Brown, Ronald; Higgins, PJ (1981), "Teoremas de Colimit para grupos de homotopía relativa", Journal of Pure and Applied Algebra , 22 : 11–41, doi : 10.1016 / 0022-4049 (81) 90080-3 , ISSN  0022-4049
• Brown, R .; Loday, J.-L. (1987), "Escisión homotópica y teoremas de Hurewicz, para n-cubos de espacios", Proceedings of the London Mathematical Society , Third Series, 54 : 176-192, CiteSeerX  10.1.1.168.1325 , doi : 10.1112 / plms / s3 -54.1.176 , ISSN  0024-6115
• Brown, R .; Loday, J.-L. (1987), "Teoremas de Van Kampen para diagramas de espacios", Topología , 26 (3): 311–334, doi : 10.1016 / 0040-9383 (87) 90004-8 , ISSN  0040-9383

• Rotman, Joseph J. (1988), Introducción a la topología algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , 119 , Springer-Verlag (publicado 1998-07-22), ISBN 978-0-387-96678-6
• Whitehead, George W. (1978), Elementos de la teoría de la homotopía , Textos de posgrado en matemáticas , 61 , Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90336-1