En matemáticas , especialmente en álgebra homológica y topología algebraica , un teorema de Künneth , también llamado fórmula de Künneth , es un enunciado que relaciona la homología de dos objetos con la homología de su producto. El enunciado clásico del teorema de Künneth relaciona la homología singular de dos espacios topológicos X e Y y su espacio producto . En el caso más simple posible, la relación es la de un producto tensorial , pero para las aplicaciones es muy a menudo necesario aplicar ciertas herramientas de álgebra homológica para expresar la respuesta.
Un teorema de Künneth o fórmula de Künneth es cierto en muchas teorías de homología y cohomología diferentes, y el nombre se ha vuelto genérico. Estos muchos resultados llevan el nombre del matemático alemán Hermann Künneth .
Homología singular con coeficientes en un campo
Sean X e Y dos espacios topológicos. En general, se usa homología singular; pero si resulta que X e Y son complejos CW , entonces esto puede ser reemplazado por homología celular , porque es isomorfo a la homología singular. El caso más simple es cuando el anillo de coeficiente para homología es un campo F . En esta situación, el teorema de Künneth (para homología singular) establece que para cualquier entero k ,
- .
Además, el isomorfismo es un isomorfismo natural . El mapa de la suma al grupo de homología del producto se llama producto cruzado . Más precisamente, hay una operación de productos cruzados mediante la cual un ciclo i en X y un ciclo j en Y se pueden combinar para crear un-ciclo encendido ; de modo que hay un mapeo lineal explícito definido a partir de la suma directa a.
Una consecuencia de este resultado es que los números de Betti , las dimensiones de la homología con coeficientes, de puede ser determinado a partir de los de X y Y . Sies la función generadora de la secuencia de números Bettide un espacio Z , entonces
Aquí, cuando hay un número finito de números Betti de X e Y , cada uno de los cuales es un número natural en lugar de, esto se lee como una identidad en los polinomios de Poincaré . En el caso general, se trata de series de potencias formales con coeficientes posiblemente infinitos y deben interpretarse en consecuencia. Además, la declaración anterior es válida no solo para los números de Betti sino también para las funciones generadoras de las dimensiones de la homología en cualquier campo. (Si la homología de enteros no está libre de torsión , estos números pueden diferir de los números de Betti estándar).
Homología singular con coeficientes en un dominio ideal principal
La fórmula anterior es simple porque los espacios vectoriales sobre un campo tienen un comportamiento muy restringido. A medida que el anillo de coeficientes se generaliza, la relación se vuelve más complicada. El siguiente caso más simple es el caso en el que el anillo de coeficientes es un dominio ideal principal . Este caso es particularmente importante porque los enteros son un PID.
En este caso, la ecuación anterior ya no es siempre cierta. Un factor de corrección parece tener en cuenta la posibilidad de fenómenos de torsión. Este factor de corrección se expresa en términos del functor Tor , el primer functor derivado del producto tensorial.
Cuando R es un PID, entonces el enunciado correcto del teorema de Künneth es que para cualquier espacio topológico X e Y hay secuencias exactas cortas naturales
Además, estas secuencias se dividen , pero no canónicamente .
Ejemplo
Las breves secuencias exactas que se acaban de describir se pueden utilizar fácilmente para calcular los grupos de homología con coeficientes enteros del producto. de dos planos proyectivos reales , es decir,. Estos espacios son complejos CW . Denotando el grupo de homología por en aras de la brevedad, se sabe por un simple cálculo con homología celular que
- ,
- ,
- para todos los demás valores de i .
El único grupo Tor no nulo (producto de torsión) que se puede formar a partir de estos valores de es
- .
Por lo tanto, la secuencia corta exacta de Künneth se reduce en todos los grados a un isomorfismo, porque hay un grupo cero en cada caso en el lado izquierdo o derecho de la secuencia. El resultado es
y todos los demás grupos de homología son cero.
La secuencia espectral de Künneth
Para un anillo conmutativo general R , la homología de X e Y está relacionada con la homología de su producto por una secuencia espectral de Künneth
En los casos descritos anteriormente, esta secuencia espectral colapsa para dar un isomorfismo o una secuencia exacta corta.
Relación con álgebra homológica e idea de prueba
El complejo de cadenas del espacio X × Y está relacionado con los complejos de cadenas de X e Y por un cuasi-isomorfismo natural
Para cadenas singulares, este es el teorema de Eilenberg y Zilber . Para las cadenas celulares en los complejos CW, es un isomorfismo sencillo. Entonces, la homología del producto tensorial de la derecha viene dada por la fórmula espectral de Künneth del álgebra homológica. [1]
La libertad de los módulos de la cadena significa que en este caso geométrico no es necesario utilizar ninguna hiperhomología o producto tensorial derivado total.
Hay análogos de los enunciados anteriores para la cohomología singular y la cohomología de gavilla . Para la cohomología de gavillas en una variedad algebraica, Alexander Grothendieck encontró seis secuencias espectrales que relacionan los posibles grupos de hiperhomología de dos complejos de cadenas de gavillas y los grupos de hiperhomología de su producto tensorial. [2]
Teoremas de Künneth en teorías generalizadas de homología y cohomología
Hay muchas teorías de homología y cohomología generalizadas (o "extraordinarias") para espacios topológicos. La teoría K y el cobordismo son los más conocidos. A diferencia de la homología y cohomología ordinarias, normalmente no se pueden definir utilizando complejos de cadena. Por tanto, los teoremas de Künneth no pueden obtenerse mediante los métodos anteriores de álgebra homológica. Sin embargo, los teoremas de Künneth en la misma forma han sido probados en muchos casos por varios otros métodos. Los primeros fueron el teorema de Künneth de Michael Atiyah para la teoría K compleja y el resultado de Pierre Conner y Edwin E. Floyd en el cobordismo. [3] [4] Surgió un método general de prueba, basado en una teoría homotópica de módulos sobre espectros de anillos altamente estructurados . [5] [6] La categoría de homotopía de tales módulos se parece mucho a la categoría derivada en el álgebra homológica.
Referencias
- ^ Véase el capítulo final de Mac Lane, Saunders (1963), Homología , Berlín: Springer, ISBN 0-387-03823-X
- ^ Grothendieck, Alexander ; Dieudonné, Jean (1963), "Éléments de géométrie algébrique (rédigés con la colaboración de Jean Dieudonné): III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Seconde partie" , Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS , 17 : 5-91(EGA III 2 , Théorème 6.7.3.).
- ^ Atiyah, Michael F. (1967), teoría K , Nueva York: WA Benjamin
- ^ Conner, Pierre E .; Floyd, Edwin E. (1964), Mapas periódicos diferenciables , Berlín: Springer
- ^ Robinson, Alan (1983), "Productos tensoriales derivados en la teoría de la homotopía estable", Topología , 22 (1): 1–18, doi : 10.1016 / 0040-9383 (83) 90042-3 , MR 0682056
- ^ Elmendorf, Anthony D .; Kříž, Igor; Mandell, Michael A. & May, J. Peter (1997), Anillos, módulos y álgebras en la teoría de homotopía estable , Encuestas y monografías matemáticas, 47 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 0-8218-0638-6, Señor 1417719
enlaces externos
- "Fórmula de Künneth" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]