En matemáticas, y especialmente en topología diferencial , análisis funcional y teoría de la singularidad , las topologías de Whitney son una familia numerable infinita de topologías definidas en el conjunto de aplicaciones suaves entre dos variedades suaves . Llevan el nombre del matemático estadounidense Hassler Whitney .
Sean M y N dos variedades reales y uniformes. Además, deje que C ∞ ( M , N ) denote el espacio de aplicaciones suaves entre M y N . La notación C ∞ significa que las aplicaciones son infinitamente diferenciables, es decir, existen derivadas parciales de todos los órdenes y son continuas . [1]
Para algún entero k ≥ 0 , sea J k ( M , N ) el espacio k - jet de las asignaciones entre M y N . El espacio jet puede estar dotado de una estructura suave (es decir, una estructura como una variedad C ∞ ) que lo convierte en un espacio topológico. Esta topología se utiliza para definir una topología en C ∞ ( M , N ).
Para cada elección de k ≥ 0 , la topología Whitney C k da una topología para C ∞ ( M , N ); en otras palabras, la topología C k de Whitney nos dice qué subconjuntos de C ∞ ( M , N ) son conjuntos abiertos. Denotemos por W k el conjunto de subconjuntos abiertos de C ∞ ( M , N ) con respecto a la topología Whitney C k . Entonces la topología Whitney C ∞ se define como la topología cuya base viene dada por W , donde:[2]
Observe que C ∞ ( M , N ) tiene una dimensión infinita, mientras que J k ( M , N ) tiene una dimensión finita. De hecho, J k ( M , N ) es una variedad real de dimensión finita. Para ver esto, sea ℝ k [ x 1 ,…, x m ] el espacio de polinomios , con coeficientes reales, en m variables de orden como máximo k y con cero como término constante. Este es un espacio vectorial real con dimensión
Escribiendo a = dim{ℝ k [ x 1 ,…, x m ] } entonces, según la teoría estándar de espacios vectoriales ℝ k [ x 1 ,…, x m ] ≅ ℝ a , y por lo tanto es un real, de dimensión finita colector. A continuación, defina: