En matemáticas , el chorro es una operación que toma una función diferenciable f y produce un polinomio , el polinomio de Taylor truncado de f , en cada punto de su dominio. Aunque esta es la definición de un chorro, la teoría de los chorros considera que estos polinomios son polinomios abstractos en lugar de funciones polinomiales.
Este artículo primero explora la noción de un chorro de una función valorada real en una variable real, seguida de una discusión de generalizaciones a varias variables reales. Luego da una construcción rigurosa de chorros y espacios de chorro entre espacios euclidianos . Concluye con una descripción de los chorros entre colectores y cómo estos chorros pueden construirse intrínsecamente. En este contexto más general, resume algunas de las aplicaciones de los chorros a la geometría diferencial y la teoría de ecuaciones diferenciales .
Chorros de funciones entre espacios euclidianos
Antes de dar una definición rigurosa de un jet, es útil examinar algunos casos especiales.
Caso unidimensional
Suponer que es una función de valor real que tiene al menos k + 1 derivadas en una vecindad U del punto. Luego, por el teorema de Taylor,
dónde
Entonces el k -jet de f en el punto se define como el polinomio
Los chorros normalmente se consideran polinomios abstractos en la variable z , no como funciones polinomiales reales en esa variable. En otras palabras, z es una variable indeterminada que permite realizar varias operaciones algebraicas entre los chorros. De hecho, es el punto basede los cuales los chorros derivan su dependencia funcional. Por tanto, al variar el punto base, un chorro produce un polinomio de orden como máximo k en cada punto. Esto marca una distinción conceptual importante entre chorros y series de Taylor truncadas: normalmente se considera que una serie de Taylor depende funcionalmente de su variable, en lugar de su punto base. Los chorros, por otro lado, separan las propiedades algebraicas de las series de Taylor de sus propiedades funcionales. Trataremos las razones y aplicaciones de esta separación más adelante en el artículo.
Mapeos de un espacio euclidiano a otro
Suponer que es una función de un espacio euclidiano a otro que tiene al menos ( k + 1) derivadas. En este caso, el teorema de Taylor afirma que
El k -jet de f se define entonces como el polinomio
en , dónde .
Propiedades algebraicas de los chorros
Hay dos estructuras algebraicas básicas que los jets pueden transportar. La primera es una estructura de producto, aunque esta última resulta ser la menos importante. El segundo es la estructura de la composición de los chorros.
Si son un par de funciones de valor real, entonces podemos definir el producto de sus chorros a través de
Aquí hemos suprimido la z indeterminada , ya que se entiende que los chorros son polinomios formales. Este producto es solo el producto de polinomios ordinarios en z , módulo . En otras palabras, es una multiplicación en el anillo., dónde es el ideal generado por polinomios homogéneos de orden ≥ k + 1.
Pasemos ahora a la composición de los chorros. Para evitar tecnicismos innecesarios, consideramos jets de funciones que mapean el origen al origen. Si y con f (0) = 0 y g (0) = 0, entonces. La composición de los chorros se define porSe verifica fácilmente, usando la regla de la cadena , que esto constituye una operación asociativa no conmutativa en el espacio de chorros en el origen.
De hecho, la composición de k -jets no es más que la composición de polinomios módulo el ideal de polinomios homogéneos de orden.
Ejemplos:
- En una dimensión, deja y . Luego
y
Chorros en un punto del espacio euclidiano: definiciones rigurosas
Definición analítica
La siguiente definición utiliza ideas del análisis matemático para definir chorros y espacios de chorros. Se puede generalizar para suavizar funciones entre espacios de Banach , funciones analíticas entre dominios reales o complejos , para análisis p-ádico y para otras áreas de análisis.
Dejar ser el espacio vectorial de funciones suaves . Sea k un entero no negativo y sea p un punto de. Definimos una relación de equivalencia en este espacio al declarar que dos funciones f y g son equivalentes al orden k si f y g tienen el mismo valor en p , y todas sus derivadas parciales concuerdan en p hasta (e incluyendo) sus derivadas de k -ésimo orden. En breve, si al k -ésimo orden.
El espacio de chorro de orden k deen p se define como el conjunto de clases de equivalencia de, y se denota por .
El chorro de orden k en p de una función suavese define como la clase de equivalencia de f en.
Definición álgebro-geométrica
La siguiente definición utiliza ideas de la geometría algebraica y el álgebra conmutativa para establecer la noción de un chorro y un espacio de chorro. Aunque esta definición no es particularmente adecuada para su uso en geometría algebraica per se, dado que se incluye en la categoría suave, se puede adaptar fácilmente a tales usos.
Dejar ser el espacio vectorial de gérmenes de funciones suaves en un punto p en. Dejarser el ideal formado por gérmenes de funciones que se desvanecen en la p . (Este es el ideal máximo para el anillo local .) Entonces el ideal consta de todos los gérmenes funcionales que se desvanecen para ordenar k en p . Ahora podemos definir el espacio del chorro en p por
Si es una función suave, podemos definir el k -jet de f en p como el elemento de configurando
Esta es una construcción más general. Por un-espacio , dejar ser el tallo de la estructura gavilla en y deja ser el ideal máximo del anillo local . El k-ésimo espacio de chorro en se define como el anillo (es producto de ideales ).
Teorema de Taylor
Independientemente de la definición, el teorema de Taylor establece un isomorfismo canónico de espacios vectoriales entre y . Entonces, en el contexto euclidiano, los chorros se identifican típicamente con sus representantes polinomiales bajo este isomorfismo.
Jet espacios de un punto a un punto
Hemos definido el espacio de chorros en un punto . El subespacio de este que consta de chorros de funciones f tales que f ( p ) = q se denota por
Chorros de funciones entre dos colectores
Si M y N son dos variedades suaves , ¿cómo definimos el chorro de una función?? Tal vez podríamos intentar definir un chorro tales mediante el uso de coordenadas locales en M y N . La desventaja de esto es que, por tanto, los chorros no pueden definirse de forma invariable. Los chorros no se transforman en tensores . En cambio, los chorros de funciones entre dos colectores pertenecen a un haz de chorros .
Chorros de funciones de la línea real a un colector
Suponga que M es una variedad suave que contiene un punto p . Definiremos los chorros de curvas a través de p , con lo que en adelante entendemos funciones suavestal que f (0) = p . Definir una relación de equivalenciacomo sigue. Deje que f y g sea un par de curvas a través de p . Entonces diremos que f y g son equivalentes a la orden k en p si hay alguna zona T de P , de tal manera que, para cada función suave, . Tenga en cuenta que estos chorros están bien definidos ya que las funciones compuestas y son solo asignaciones de la línea real a sí misma. Esta relación de equivalencia a veces se denomina contacto de k -ésimo orden entre curvas en p .
Ahora definimos el k -jet de una curva f a través de p como la clase de equivalencia de f bajo, denotado o . El espacio jet de orden k es entonces el conjunto de k- chorros en p .
Como p varía sobre M ,forma un haz de fibras sobre M : el haz tangente de orden k -ésimo , a menudo denotado en la literatura por T k M (aunque esta notación ocasionalmente puede llevar a confusión). En el caso de k = 1, entonces el paquete tangente de primer orden es el paquete tangente habitual: T 1 M = TM .
Para demostrar que T k M es de hecho un haz de fibras, es instructivo examinar las propiedades deen coordenadas locales. Sea ( x i ) = ( x 1 , ..., x n ) un sistema de coordenadas local para M en una vecindad U de p . Abusando levemente de la notación , podemos considerar ( x i ) como un difeomorfismo local .
Afirmar. Dos curvas de f y g a través de p son de módulo equivalente si y solo si .
- De hecho, la única parte si es clara, ya que cada una de las n funciones x 1 , ..., x n es una función suave de M a . Entonces, por la definición de la relación de equivalencia , dos curvas equivalentes deben tener .
- Por el contrario, suponga que ; es una función uniforme de valor real en M en una vecindad de p . Dado que cada función suave tiene una expresión de coordenadas locales, podemos expresar ; en función de las coordenadas. Específicamente, si q es un punto de M cerca de p , entonces
- para alguna función suave de valor real ψ de n variables reales. Por lo tanto, para dos curvas de f y g a través de p , tenemos
- La regla de la cadena ahora establece la parte if del reclamo. Por ejemplo, si f y g son funciones de la variable real t , entonces
- que es igual a la misma expresión cuando se evalúa contra g en lugar de f , recordando que f (0) = g (0) = p y f y g están en contacto de k -ésimo orden en el sistema de coordenadas ( x i ).
Por tanto, el haz de fibras ostensible T k M admite una trivialización local en cada vecindad de coordenadas. En este punto, para demostrar que este aparente haz de fibras es de hecho un haz de fibras, basta con establecer que tiene funciones de transición no singulares bajo un cambio de coordenadas. Dejar ser un sistema de coordenadas diferente y dejar ser el cambio asociado de difeomorfismo de coordenadas del espacio euclidiano a sí mismo. Mediante una transformación afín de, podemos suponer sin pérdida de generalidad que ρ (0) = 0. Con esta suposición, basta probar quees una transformación invertible bajo composición de chorro. (Ver también grupos de chorro .) Pero como ρ es un difeomorfismo,también es un mapeo fluido. Por eso,
lo que prueba que no es singular. Además, es suave, aunque no probamos ese hecho aquí.
Intuitivamente, esto significa que podemos expresar el chorro de una curva a través de p en términos de su serie de Taylor en coordenadas locales en M .
Ejemplos en coordenadas locales:
- Como se indicó anteriormente, el chorro 1 de una curva a través de p es un vector tangente. Un vector tangente en p es un operador diferencial de primer orden que actúa sobre funciones uniformes de valor real en p . En coordenadas locales, todo vector tangente tiene la forma
- Dado tal vector tangente v , sea f la curva dada en el sistema de coordenadas x i por . Si φ es una función suave en una vecindad de p con φ ( p ) = 0, entonces
- es una función suave de valor real de una variable cuyo 1-chorro está dado por
- lo que demuestra que uno puede identificar naturalmente vectores tangentes en un punto con los 1-chorros de curvas a través de ese punto.
- El espacio de 2 chorros de curvas a través de un punto.
- En un sistema de coordenadas local x i centrado en un punto p , podemos expresar el polinomio de Taylor de segundo orden de una curva f ( t ) a través de p mediante
- Entonces, en el sistema de coordenadas x , el 2-chorro de una curva a través de p se identifica con una lista de números reales . Al igual que con los vectores tangentes (1 chorro de curvas) en un punto, 2 chorros de curvas obedecen a una ley de transformación al aplicar las funciones de transición de coordenadas.
- Sea ( y i ) otro sistema de coordenadas. Por la regla de la cadena,
- Por tanto, la ley de transformación se obtiene al evaluar estas dos expresiones en t = 0.
- Tenga en cuenta que la ley de transformación para 2 chorros es de segundo orden en las funciones de transición de coordenadas.
Chorros de funciones de un colector a un colector
Ahora estamos preparados para definir el chorro de una función de un colector a un colector.
Suponga que M y N son dos variedades suaves. Deje que p sea un punto de M . Considere el espacio que consta de mapas suaves definido en algún barrio de p . Definimos una relación de equivalencia en como sigue. Dos mapas f y g se dice que son equivalentes si, para cada γ curva a través de p (recordemos que por nuestras convenciones este es un mapeo tal que ), tenemos en algún barrio de 0 .
El espacio del jet entonces se define como el conjunto de clases de equivalencia de módulo la relación de equivalencia . Tenga en cuenta que debido a que el espacio objetivo N no necesita poseer ninguna estructura algebraica,tampoco es necesario que tenga dicha estructura. Este es, de hecho, un marcado contraste con el caso de los espacios euclidianos.
Si es una función suave definida cerca de p , entonces definimos el k -jet de f en p ,, para ser la clase de equivalencia de f módulo.
Multijets
John Mather introdujo la noción de multijet . En términos generales, un chorro múltiple es una lista finita de chorros sobre diferentes puntos de base. Mather demostró el teorema de transversalidad multichorro , que utilizó en su estudio de las asignaciones estables .
Chorros de secciones
Suponga que E es un conjunto de vectores lisos de dimensión finita sobre una variedad M , con proyección. Entonces las secciones de E son funciones suaves tal que es la identidad automorfismo de M . El chorro de una sección s sobre una vecindad de un punto p es solo el chorro de esta función suave de M a E en p .
El espacio de chorros de secciones en p se denota por. Aunque esta notación puede llevar a confusión con los espacios de chorro de funciones más generales entre dos variedades, el contexto típicamente elimina cualquier ambigüedad de este tipo.
A diferencia de los chorros de funciones de un colector a otro colector, el espacio de chorros de secciones en p lleva la estructura de un espacio vectorial heredado de la estructura del espacio vectorial en las propias secciones. A medida que p varía sobre M , los espacios de chorroForme un haz de vectores sobre M , el haz de chorros de k -ésimo orden de E , denotado por J k ( E ).
- Ejemplo: el haz de chorros de primer orden del haz tangente.
- Trabajamos en coordenadas locales en un punto y usamos la notación de Einstein . Considere un campo vectorial
- en un barrio de p en M . El 1 chorro de v se obtiene tomando el polinomio de Taylor de primer orden de los coeficientes del campo vectorial:
- En las coordenadas x , el 1 chorro en un punto se puede identificar con una lista de números reales. . De la misma manera que un vector tangente en un punto se puede identificar con la lista ( v i ), sujeto a una cierta ley de transformación bajo transiciones de coordenadas, tenemos que saber cómo la lista se ve afectado por una transición.
- Por tanto, considere la ley de transformación al pasar a otro sistema de coordenadas y i . Sea w k los coeficientes del campo vectorial v en las coordenadas y . Luego, en las coordenadas y , el 1 chorro de v es una nueva lista de números reales . Desde
- resulta que
- Entonces
- Ampliando por una serie de Taylor, tenemos
- Tenga en cuenta que la ley de transformación es de segundo orden en las funciones de transición de coordenadas.
Operadores diferenciales entre paquetes de vectores
Ver también
- Grupo Jet
- Paquete Jet
- Sistema lagrangiano
Referencias
- Krasil'shchik, IS, Vinogradov, AM, [et al.], Simetrías y leyes de conservación para ecuaciones diferenciales de física matemática , American Mathematical Society , Providence, RI, 1999, ISBN 0-8218-0958-X .
- Kolář, I., Michor, P., Slovák, J., Operaciones naturales en geometría diferencial. Springer-Verlag: Berlín Heidelberg, 1993. ISBN 3-540-56235-4 , ISBN 0-387-56235-4 .
- Saunders, DJ, The Geometry of Jet Bundles , Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-521-36948-7
- Olver, PJ , Equivalencia, invariantes y simetría , Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-47811-1
- Sardanashntly, G. , Geometría diferencial avanzada para teóricos: haces de fibras, colectores de chorro y teoría lagrangiana , Lambert Academic Publishing, 2013, ISBN 978-3-659-37815-7 ; arXiv : 0908.1886