En teoría de números , un número primo de Wieferich es un número primo p tal que p 2 divide 2 p - 1 - 1 , [4] por lo tanto, conecta estos números primos con el pequeño teorema de Fermat , que establece que todo primo impar p divide 2 p - 1 - 1 . Los números primos de Wieferich fueron descritos por primera vez por Arthur Wieferich en 1909 en trabajos relacionados con el último teorema de Fermat , momento en el que ambos teoremas de Fermat ya eran bien conocidos por los matemáticos. [5] [6]
Lleva el nombre de | Arthur Wieferich |
---|---|
Año de publicación | 1909 |
Autor de la publicación | Wieferich, A. |
No. de términos conocidos | 2 |
Conjeturaba que no. de términos | Infinito |
Subsecuencia de | Números de Crandall [1] Números de Wieferich [2] Primos de Lucas – Wieferich [3] Primos de casi Wieferich |
Primeros términos | 1093 , 3511 |
Término más grande conocido | 3511 |
Índice OEIS | A001220 |
Desde entonces, se han descubierto conexiones entre los números primos de Wieferich y varios otros temas en matemáticas, incluidos otros tipos de números y números primos, como los números de Mersenne y Fermat , tipos específicos de pseudoprimos y algunos tipos de números generalizados a partir de la definición original de un primo de Wieferich . Con el tiempo, esas conexiones descubiertas se han extendido para cubrir más propiedades de ciertos números primos, así como temas más generales como los campos numéricos y la conjetura abc .
En marzo de 2021 [actualizar], los únicos números primos de Wieferich conocidos son 1093 y 3511 (secuencia A001220 en la OEIS ).
Definiciones equivalentes
La versión más fuerte del pequeño teorema de Fermat , que satisface un número primo de Wieferich, generalmente se expresa como una relación de congruencia 2 p -1 ≡ 1 (mod p 2 ) . De la definición de la relación de congruencia en números enteros , se deduce que esta propiedad es equivalente a la definición dada al principio. Por tanto, si un primo p satisface esta congruencia, este primo divide el cociente de Fermat . Los siguientes son dos ejemplos ilustrativos que utilizan los números primos 11 y 1093:
- Para p = 11, obtenemos que es 93 y deja un resto de 5 después de la división por 11, por lo tanto, 11 no es un número primo de Wieferich. Para p = 1093, obtenemos o 485439490310 ... 852893958515 (302 dígitos intermedios omitidos para mayor claridad), lo que deja un resto de 0 después de la división por 1093 y, por lo tanto, 1093 es un número primo de Wieferich.
Los números primos de Wieferich se pueden definir mediante otras congruencias equivalentes. Si p es un número primo de Wieferich, se pueden multiplicar ambos lados de la congruencia 2 p −1 ≡ 1 (mod p 2 ) por 2 para obtener 2 p ≡ 2 (mod p 2 ) . Elevar ambos lados de la congruencia a la potencia p muestra que un número primo de Wieferich también satisface 2 p 2 ≡2 p ≡ 2 (mod p 2 ) , y por lo tanto 2 p k ≡ 2 (mod p 2 ) para todo k ≥ 1 . Lo contrario también es cierto: 2 p k ≡ 2 (mod p 2 ) para algunos k ≥ 1 implica que el orden multiplicativo de 2 módulo p 2 divide mcd ( p k - 1 , φ ( p 2 )) = p - 1 , es decir, 2 p −1 ≡ 1 (mod p 2 ) y, por tanto, p es un número primo de Wieferich. Esto también implica que los números primos de Wieferich se pueden definir como números primos p de manera que los órdenes multiplicativos de 2 módulo p y módulo p 2 coincidan: ord p 2 2 = ord p 2 , (por cierto, ord 1093 2 = 364 y ord 3511 2 = 1755).
HS Vandiver demostró que 2 p −1 ≡ 1 (mod p 3 ) si y solo si. [7] : 187
Historial y estado de búsqueda
En 1902, Meyer demostró un teorema sobre las soluciones de la congruencia a p - 1 ≡ 1 (mod p r ). [8] : 930 [9] Más adelante en esa década Arthur Wieferich demostró específicamente que si el primer caso del último teorema de Fermat tiene soluciones para un exponente primo impar, entonces ese primo debe satisfacer esa congruencia para a = 2 y r = 2. [ 10] En otras palabras, si existen soluciones ax p + y p + z p = 0 en enteros x , y , z y p un primo impar con p ∤ xyz , entonces p satisface 2 p - 1 ≡ 1 (mod p 2 ). En 1913, Bachmann examinó los residuos de. Hizo la pregunta cuando este residuo se desvanece y trató de encontrar expresiones para responder a esta pregunta. [11]
El primo 1093 resultó ser un primo de Wieferich por W. Meissner para todos los primos p <2000 y encontró que este residuo era cero para t = 364 yp = 1093, proporcionando así un contraejemplo a una conjetura de Grave sobre la imposibilidad de la congruencia de Wieferich. [12] E. Haentzschel más tarde ordenó la verificación de la exactitud de la congruencia de Meissner a través de sólo cálculos elementales. [13] : 664 Inspirado por un trabajo anterior de Euler , simplificó la demostración de Meissner mostrando que 1093 2 | ( 2182 + 1) y comentó que ( 2182 + 1) es un factor de ( 2364 - 1). [14] También se demostró que es posible probar que 1093 es un número primo de Wieferich sin usar números complejos contrarios al método usado por Meissner, [15] aunque el propio Meissner insinuó que estaba al tanto de una prueba sin valores complejos. [12] : 665
en 1913 y se confirmó que era el único primo por debajo de 2000. Calculó el residuo más pequeño deNGWH Beeger descubrió por primera vez que el 3511 era un primo de Wieferich en 1922 [16] y Guy publicó otra prueba de que se trataba de un primo de Wieferich en 1965 . [17] En 1960, Kravitz [18] duplicó un récord anterior establecido por Fröberg × 10 9 . [21] Este límite se amplió a más de 2,5 × 10 15 en 2006, [22] finalmente llegó a 3 × 10 15 . Ahora se sabe que si existen otros números primos de Wieferich, deben ser superiores a 6,7 × 10 15 . [23]
[19] y en 1961 Riesel extendió la búsqueda a 500000 con la ayuda de BESK . [20] Alrededor de 1980, Lehmer pudo alcanzar el límite de búsqueda de 6En 2007–2016, el proyecto de computación distribuida Wieferich @ Home realizó una búsqueda de números primos de Wieferich. [24] En 2011-2017, el proyecto PrimeGrid realizó otra búsqueda , aunque más tarde se afirmó que el trabajo realizado en este proyecto fue en vano. [25] Si bien estos proyectos alcanzaron límites de búsqueda superiores a 1 × 10 17 , ninguno de ellos informó resultados sostenibles.
En 2020, PrimeGrid inició otro proyecto que busca números primos Wieferich y Wall – Sun – Sun simultáneamente. El nuevo proyecto utiliza sumas de verificación para permitir una doble verificación independiente de cada subintervalo, minimizando así el riesgo de perder una instancia debido a un hardware defectuoso. [26] En marzo de 2021,[actualizar]el borde de ataque de esta búsqueda fue de más de 3 × 10 18 . [27]
Se ha conjeturado (como para los números primos de Wilson ) que existen infinitos números primos de Wieferich, y que el número de números primos de Wieferich por debajo de x es aproximadamente log (log ( x )), que es un resultado heurístico que se sigue de la suposición plausible de que para un primo p , las raíces de ( p - 1) -ésimo grado de la unidad módulo p 2 se distribuyen uniformemente en el grupo multiplicativo de enteros módulo p 2 . [28]
Propiedades
Conexión con el último teorema de Fermat
El siguiente teorema que conecta los números primos de Wieferich y el último teorema de Fermat fue probado por Wieferich en 1909: [10]
- Deje que p sea primo, y dejar que x , y , z sean números enteros tales que x p + y p + z p = 0 . Además, suponga que p no divide el producto xyz . Entonces p es un número primo de Wieferich.
El caso anterior (en la que p no divide cualquiera de x , y o z ) se conoce comúnmente como el primer caso del último teorema de Fermat (FLTI) [29] [30] y FLTI se dice que fallar por un primer p , si las soluciones para la ecuación de Fermat existen para ese p , de lo contrario FLTI se cumple para p . [31] En 1910, Mirimanoff amplió [32] el teorema mostrando que, si las condiciones previas del teorema son verdaderas para algún primo p , entonces p 2 también debe dividir 3 p - 1 - 1 . Granville y Monagan demostraron además que p 2 debe dividir m p - 1 - 1 para cada primo m ≤ 89. [33] Suzuki extendió la prueba a todos los primos m ≤ 113. [34]
Sea H p un conjunto de pares de enteros con 1 como su máximo común divisor , p siendo primo ax , y y x + y , ( x + y ) p −1 ≡ 1 (mod p 2 ), ( x + ξy ) siendo la p- ésima potencia de un ideal de K con ξ definido como cos 2 π / p + i sin 2 π / p . K = Q ( ξ ) es la extensión del campo obtenida al unir todos los polinomios en el número algebraico ξ al campo de los números racionales (tal extensión se conoce como un campo numérico o en este caso particular, donde ξ es una raíz de la unidad , un campo de número ciclotómico ). [33] : 332 De la unicidad de la factorización de ideales en Q (ξ) se deduce que si el primer caso del último teorema de Fermat tiene soluciones x , y , z entonces p divide x + y + z y ( x , y ), ( y , z ) y ( z , x ) son elementos de H p . [33] : 333 Granville y Monagan demostraron que (1, 1) ∈ H p si y solo si p es un número primo de Wieferich. [33] : 333
Conexión con la conjetura abc y los números primos que no son de Wieferich
Un primo que no es de Wieferich es un primo p que satisface 2 p - 1 ≢ 1 (mod p 2 ) . JH Silverman demostró en 1988 que si se cumple la conjetura abc , entonces existen infinitos números primos que no son de Wieferich. [35] Más precisamente, mostró que la conjetura abc implica la existencia de una constante que solo depende de α, de modo que el número de primos no Wieferich a la base α con p menor o igual a una variable X es mayor que log ( X ) a medida que X va al infinito. [36] : 227 La evidencia numérica sugiere que muy pocos de los números primos en un intervalo dado son números primos de Wieferich. El conjunto de primos de Wieferich y el conjunto de primos que no son de Wieferich, a veces denotados por W 2 y W 2 c respectivamente, [37] son conjuntos complementarios , por lo que si se demuestra que uno de ellos es finito, el otro necesariamente tendrá que ser infinito, porque ambos son subconjuntos propios del conjunto de números primos. Más tarde se demostró que la existencia de un número infinito no Wieferich ceba ya se sigue de una versión más débil de la conjetura abc, llamado el ABC - ( k , ε ) conjetura . [38] Además, la existencia de infinitos números primos no Wieferich también se seguiría si existen infinitos números de Mersenne sin cuadrados [39] así como si existe un número real ξ tal que el conjunto { n ∈ N : λ (2 n - 1) <2 - ξ } es de densidad uno, donde el índice de composición λ ( n ) de un número entero n se define como y , significado da el producto de todos los factores primos de n . [37] : 4
Conexión con primos de Mersenne y Fermat
Se sabe que el n- ésimo número de Mersenne M n = 2 n - 1 es primo solo si n es primo. El pequeño teorema de Fermat implica que si p > 2 es primo, entonces M p −1 (= 2 p - 1 - 1) siempre es divisible por p . Dado que los números de Mersenne de índices primos M p y M q son coprimos,
- Un divisor primo p de M q , donde q es primo, es un primo de Wieferich si y solo si p 2 divide a M q . [40]
Por tanto, una prima de Mersenne no puede ser también una prima de Wieferich. Un problema abierto notable es determinar si todos los números de índice primo de Mersenne están libres de cuadrados . Si q es primo y el número de Mersenne M q no está libre de cuadrados, es decir, existe un primo p para el cual p 2 divide a M q , entonces p es un primo de Wieferich. Por lo tanto, si solo hay un número finito de números primos de Wieferich, entonces habrá como mucho un número finito de números de Mersenne con índice de primos que no estén libres de cuadrados. Rotkiewicz mostró un resultado relacionado: si hay infinitos números de Mersenne sin cuadrados, entonces hay infinitos números primos que no son de Wieferich. [41]
De manera similar, si p es primo y p 2 divide algún número de Fermat F n = 2 2 n + 1 , entonces p debe ser un primo de Wieferich. [42]
De hecho, existe un número natural n y un primo p que p 2 divide (dónde es el n - ésimo polinomio ciclotómico ) si y solo si p es un número primo de Wieferich. Por ejemplo, 1093 2 divide, 3511 2 divide. Los números de Mersenne y Fermat son solo situaciones especiales de. Por lo tanto, si 1093 y 3511 son solo dos primos de Wieferich, entonces todosson libres de cuadrados excepto y (De hecho, cuando existe un primo p que p 2 divide algunos, entonces es un primo de Wieferich); y claramente, sies primo, entonces no puede ser primo de Wieferich. (Cualquier primo impar p divide solo unoy n divide p - 1 , y si y solo si la longitud del período de 1 / p en binario es n , entonces p divide. Además, si y solo si p es un número primo de Wieferich, entonces la duración del período de 1 / py 1 / p 2 es la misma (en binario). De lo contrario, esto es p veces que eso).
Para los números primos 1093 y 3511, se demostró que ninguno de ellos es divisor de ningún número de Mersenne con índice primo ni divisor de ningún número de Fermat, porque 364 y 1755 no son primos ni potencias de 2. [43]
Conexión con otras ecuaciones
Scott y Styer demostraron que la ecuación p x - 2 y = d tiene como máximo una solución en números enteros positivos ( x , y ), a menos que cuando p 4 | 2 ord p 2 - 1 si p ≢ 65 (mod 192) o incondicionalmente cuando p 2 | 2 ord p 2 - 1, donde ord p 2 denota el orden multiplicativo de 2 módulo p . [44] : 215, 217–218 También demostraron que una solución a la ecuación ± a x 1 ± 2 y 1 = ± a x 2 ± 2 y 2 = c debe ser de un conjunto específico de ecuaciones, pero que esto no mantenga, si a es un número primo de Wieferich mayor que 1.25 x 10 15 . [45] : 258
Periodicidad binaria de p - 1
Johnson observó [46] que los dos primos de Wieferich conocidos son uno mayor que los números con expansiones binarias periódicas (1092 = 010001000100 2 = 444 16 ; 3510 = 110110110110 2 = 6666 8 ). El proyecto Wieferich @ Home buscó números primos de Wieferich probando números que son uno mayor que un número con una expansión binaria periódica, pero hasta una "pseudo-longitud de bits" de 3500 de los números binarios probados generados por la combinación de cadenas de bits con un longitud de bits de hasta 24 no ha encontrado un nuevo primo de Wieferich. [47]
Abundancia de p - 1
Se ha observado (secuencia A239875 en la OEIS ) que los números primos de Wieferich conocidos son uno mayor que los números mutuamente amigables (el índice de abundancia compartida es 112/39).
Conexión con pseudoprimes
Se observó que los dos números primos de Wieferich conocidos son los factores cuadrados de todos los pseudoprimos de Fermat de base 2 libre no cuadrados hasta 25 × 10 9 . [48] Cálculos posteriores mostraron que los únicos factores repetidos de los pseudoprimes hasta 10 12 son 1093 y 3511. [49] Además, existe la siguiente conexión:
- Sea n un pseudoprime de base 2 y p un divisor primo de n . Si , Después también . [31] : 378 Además, si p es un primo de Wieferich, entonces p 2 es un pseudoprimo catalán .
Conexión con gráficos dirigidos
Para todos los números primos p hasta 100000 , L ( p n +1 ) = L ( p n ) solo en dos casos: L (1093 2 ) = L (1093) = 364 y L (3511 2 ) = L (3511) = 1755 , donde L ( m ) es el número de vértices en el ciclo de 1 en el diagrama de duplicación módulo m . Aquí, el diagrama de duplicación representa el gráfico dirigido con los enteros no negativos menores que m como vértices y con aristas dirigidas que van desde cada vértice x al vértice 2 x módulo reducido m . [50] : 74 Se demostró que para todos los números primos impares L ( p n +1 ) = p · L ( p n ) o L ( p n +1 ) = L ( p n ) . [50] : 75
Se demostró que y si y solo si 2 p - 1 ≢ 1 (mod p 2 ) donde p es un primo impar yes el discriminante fundamental del campo cuadrático imaginario . Además, se mostró lo siguiente: Sea p un número primo de Wieferich. Si p ≡ 3 (mod 4) , sea ser el discriminante fundamental del campo cuadrático imaginario y si p ≡ 1 (mod 4) , sea ser el discriminante fundamental del campo cuadrático imaginario . Luego y ( χ y λ en este contexto denotan invariantes de Iwasawa ). [51] : 27
Además, se obtuvo el siguiente resultado: Let q sea un número primo impar, k y p son números primos tal que p = 2 k + 1, k ≡ 3 (mod 4), p ≡ -1 (mod q ), p ≢ - 1 (mod q 3 ) y el orden de q módulo k es. Suponga que q divide h + , el número de clase del campo ciclotómico real , el campo ciclotómico obtenido al unir la suma de una p -ésima raíz de la unidad y su recíproco al campo de números racionales. Entonces q es un número primo de Wieferich. [52] : 55 Esto también se aplica si las condiciones p ≡ -1 (mod q ) y p ≢ -1 (mod q 3 ) se sustituyen por p ≡ -3 (mod q ) y p ≢ -3 (mod q 3 ) así como cuando la condición p ≡ −1 (mod q ) es reemplazada por p ≡ −5 (mod q ) (en cuyo caso q es un primo Muro-Sol-Sol ) y la condición de incongruencia reemplazada por p ≢ −5 ( mod q 3 ) . [53] : 376
Generalizaciones
Primos cercanos a Wieferich
Un primo p que satisface la congruencia 2 ( p −1) / 2 ≡ ± 1 + Ap (mod p 2 ) con pequeño | A | se denomina comúnmente prima cercana a Wieferich (secuencia A195988 en la OEIS ). [28] [54] Los números primos de Near-Wieferich con A = 0 representan los números primos de Wieferich. Las búsquedas recientes, además de su búsqueda principal de números primos de Wieferich, también intentaron encontrar números primos cercanos a Wieferich. [23] [55] La siguiente tabla enumera todos los primos cercanos a Wieferich con | A | ≤ 10 en el intervalo [1 × 10 9 , 3 × 10 15 ]. [56] Este límite de búsqueda se alcanzó en 2006 en un esfuerzo de búsqueda de P. Carlisle, R. Crandall y M. Rodenkirch. [22] [57] Las entradas más grandes son de PrimeGrid.
pag | 1 o −1 | A |
---|---|---|
3520624567 | +1 | −6 |
46262476201 | +1 | +5 |
47004625957 | −1 | +1 |
58481216789 | −1 | +5 |
76843523891 | −1 | +1 |
1180032105761 | +1 | −6 |
12456646902457 | +1 | +2 |
134257821895921 | +1 | +10 |
339258218134349 | −1 | +2 |
2276306935816523 | −1 | −3 |
82687771042557349 | -1 | -10 |
3156824277937156367 | +1 | +7 |
El signo +1 o -1 anterior puede predecirse fácilmente mediante el criterio de Euler (y el segundo complemento de la ley de reciprocidad cuadrática ).
Dorais y Klyve [23] utilizaron una definición diferente de un primo cercano a Wieferich, definiéndolo como un primo p con un valor pequeño de dónde es el cociente de Fermat de 2 con respecto a p módulo p (la operación módulo aquí da el residuo con el valor absoluto más pequeño). La siguiente tabla enumera todos los primos p ≤ 6,7 × 10 15 con.
pag | ||
---|---|---|
1093 | 0 | 0 |
3511 | 0 | 0 |
2276306935816523 | +6 | 0,264 |
3167939147662997 | −17 | 0.537 |
3723113065138349 | −36 | 0,967 |
5131427559624857 | −36 | 0,702 |
5294488110626977 | −31 | 0.586 |
6517506365514181 | +58 | 0,890 |
Las dos nociones de proximidad se relacionan de la siguiente manera. Si, luego cuadrando, claramente . Entonces, si A hubiera sido elegido con pequeño, luego claramente también es (bastante) pequeño y un número par. Sin embargo cuandoes extraño arriba, la A relacionada de antes de la última cuadratura no era "pequeña". Por ejemplo, con, tenemos que se lee extremadamente no cercano, pero después de elevar al cuadrado esto es que es un casi Wieferich según la segunda definición.
Base- a primos de Wieferich
Una base prima de Wieferich a es una prima p que satisface
- a p - 1 ≡ 1 (mod p 2 ) ., [8] con 'a' menor que 'p' pero mayor que 1.
Tal primo no puede dividir a , ya que entonces también dividiría 1.
Es una conjetura que para cada número natural a , hay infinitos números primos de Wieferich en base a .
Bolyai mostró que si p y q son números primos, un es un entero positivo no es divisible por p y q tal que una p -1 ≡ 1 (mod q ) , un q -1 ≡ 1 (mod p ) , a continuación, un pq -1 ≡ 1 (mod pq ) . Establecer p = q conduce a una p 2 −1 ≡ 1 (mod p 2 ) . [58] : 284 Se demostró que a p 2 −1 ≡ 1 (mod p 2 ) si y solo si a p −1 ≡ 1 (mod p 2 ) . [58] : 285–286
Las soluciones conocidas de a p −1 ≡ 1 (mod p 2 ) para valores pequeños de a son: [59] (verificado hasta 5 × 10 13 )
a primos p tales que a p - 1 = 1 (mod p 2 ) Secuencia OEIS 1 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... (Todos los números primos) A000040 2 1093, 3511, ... A001220 3 11, 1006003, ... A014127 4 1093, 3511, ... 5 2, 20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337, 188748146801, ... A123692 6 66161, 534851, 3152573, ... A212583 7 5, 491531, ... A123693 8 3, 1093, 3511, ... 9 2, 11, 1006003, ... 10 3, 487, 56598313, ... A045616 11 71, ... 12 2693, 123653, ... A111027 13 2, 863, 1747591, ... A128667 14 29, 353, 7596952219, ... A234810 15 29131, 119327070011, ... A242741 dieciséis 1093, 3511, ... 17 2, 3, 46021, 48947, 478225523351, ... A128668 18 5, 7, 37, 331, 33923, 1284043, ... A244260 19 3, 7, 13, 43, 137, 63061489, ... A090968 20 281, 46457, 9377747, 122959073, ... A242982 21 2, ... 22 13, 673, 1595813, 492366587, 9809862296159, ... A298951 23 13, 2481757, 13703077, 15546404183, 2549536629329, ... A128669 24 5, 25633, ... 25 2, 20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337, 188748146801, ... 26 3, 5, 71, 486999673, 6695256707, ... A306255 27 11, 1006003, ... 28 3, 19, 23, ... 29 2, ... 30 7, 160541, 94727075783, ... A306256 31 7, 79, 6451, 2806861, ... A331424 32 5, 1093, 3511, ... 33 2, 233, 47441, 9639595369, ... 34 46145917691, ... 35 3, 1613, 3571, ... 36 66161, 534851, 3152573, ... 37 2, 3, 77867, 76407520781, ... A331426 38 17, 127, ... 39 8039, ... 40 11, 17, 307, 66431, 7036306088681, ... 41 2, 29, 1025273, 138200401, ... A331427 42 23, 719867822369, ... 43 5, 103, 13368932516573, ... 44 3, 229, 5851, ... 45 2, 1283, 131759, 157635607, ... 46 3, 829, ... 47 ... 48 7, 257, ... 49 2, 5, 491531, ... 50 7, ...
Para obtener más información, consulte [60] [61] [62] y. [63] (Nota que las soluciones a un = b k es la unión de los divisores primos de k lo cual NO división B y las soluciones a un = b )
Las soluciones más pequeñas de n p −1 ≡ 1 (mod p 2 ) son
- 2, 1093, 11, 1093, 2, 66161, 5, 3, 2, 3, 71, 2693, 2, 29, 29131, 1093, 2, 5, 3, 281, 2, 13, 13, 5, 2, 3, 11, 3, 2, 7, 7, 5, 2, 46145917691, 3, 66161, 2, 17, 8039, 11, 2, 23, 5, 3, 2, 3, ... (El siguiente término> 4,9 × 10 13 ) (secuencia A039951 en la OEIS )
No hay soluciones conocidas de n p −1 ≡ 1 (mod p 2 ) para n = 47, 72, 186, 187, 200, 203, 222, 231, 304, 311, 335, 355, 435, 454, 546, 554, 610, 639, 662, 760, 772, 798, 808, 812, 858, 860, 871, 983, 986, 1002, 1023, 1130, 1136, 1138, ....
Es una conjetura que hay infinitas soluciones de a p −1 ≡ 1 (mod p 2 ) para cada número natural a .
Las bases b < p 2 de las cuales p es un primo de Wieferich son (para b > p 2 , las soluciones simplemente se desplazan en k · p 2 para k > 0), y hay p - 1 soluciones < p 2 de p y la conjunto de la soluciones congruentes para p son {1, 2, 3, ..., p - 1}) (secuencia A143548 en la OEIS )
pag valores de b < p 2 2 1 3 1, 8 5 1, 7, 18, 24 7 1, 18, 19, 30, 31, 48 11 1, 3, 9, 27, 40, 81, 94, 112, 118, 120 13 1, 19, 22, 23, 70, 80, 89, 99, 146, 147, 150, 168 17 1, 38, 40, 65, 75, 110, 131, 134, 155, 158, 179, 214, 224, 249, 251, 288 19 1, 28, 54, 62, 68, 69, 99, 116, 127, 234, 245, 262, 292, 293, 299, 307, 333, 360 23 1, 28, 42, 63, 118, 130, 170, 177, 195, 255, 263, 266, 274, 334, 352, 359, 399, 411, 466, 487, 501, 528 29 1, 14, 41, 60, 63, 137, 190, 196, 221, 236, 267, 270, 374, 416, 425, 467, 571, 574, 605, 620, 645, 651, 704, 778, 781, 800, 827, 840
La base mínima b > 1 cuyo primo ( n ) es un primo de Wieferich son
- 5, 8, 7, 18, 3, 19, 38, 28, 28, 14, 115, 18, 51, 19, 53, 338, 53, 264, 143, 11, 306, 31, 99, 184, 53, 181, 43, 164, 96, 68, 38, 58, 19, 328, 313, 78, 226, 65, 253, 259, 532, 78, 176, 276, 143, 174, 165, 69, 330, 44, 33, 332, 94, 263, 48, 79, 171, 747, 731, 20, ... (secuencia A039678 en la OEIS )
También podemos considerar la fórmula , (debido al pequeño teorema de Fermat generalizado, es cierto para todo primo py todo número natural a tal que tanto a como a + 1 no son divisibles por p ). Es una conjetura que para cada número natural a , hay infinitos números primos tales que.
Las soluciones conocidas para la pequeña una son: (comprobado hasta 4 × 10 11 ) [64]
primos tal que 1 1093, 3511, ... 2 23, 3842760169, 41975417117, ... 3 5, 250829, ... 4 3, 67, ... 5 3457, 893122907, ... 6 72673, 1108905403, 2375385997, ... 7 13, 819381943, ... 8 67, 139, 499, 26325777341, ... 9 67, 887, 9257, 83449, 111539, 31832131, ... 10 ... 11 107, 4637, 239357, ... 12 5, 11, 51563, 363901, 224189011, ... 13 3, ... 14 11, 5749, 17733170113, 140328785783, ... 15 292381, ... dieciséis 4157, ... 17 751, 46070159, ... 18 7, 142671309349, ... 19 17, 269, ... 20 29, 162703, ... 21 5, 2711, 104651, 112922981, 331325567, 13315963127, ... 22 3, 7, 13, 94447, 1198427, 23536243, ... 23 43, 179, 1637, 69073, ... 24 7, 353, 402153391, ... 25 43, 5399, 21107, 35879, ... 26 7, 131, 653, 5237, 97003, ... 27 2437, 1704732131, ... 28 5, 617, 677, 2273, 16243697, ... 29 73, 101, 6217, ... 30 7, 11, 23, 3301, 48589, 549667, ... 31 3, 41, 416797, ... 32 95989, 2276682269, ... 33 139, 1341678275933, ... 34 83, 139, ... 35 ... 36 107, 137, 613, 2423, 74304856177, ... 37 5, ... 38 167, 2039, ... 39 659, 9413, ... 40 3, 23, 21029249, ... 41 31, 71, 1934399021, 474528373843, ... 42 4639, 1672609, ... 43 31, 4962186419, ... 44 36677, 17786501, ... 45 241, 26120375473, ... 46 5, 13877, ... 47 13, 311, 797, 906165497, ... 48 ... 49 3, 13, 2141, 281833, 1703287, 4805298913, ... 50 2953, 22409, 99241, 5427425917, ...
Parejas de Wieferich
A Wieferich par es un par de números primos p y q que satisfacen
- p q - 1 ≡ 1 (mod q 2 ) yq p - 1 ≡ 1 (mod p 2 )
de modo que un primo de Wieferich p ≡ 1 (mod 4) formará tal par ( p , 2): la única instancia conocida en este caso es p = 1093 . Solo hay 7 parejas de Wieferich conocidas. [sesenta y cinco]
- (2, 1093), (3, 1006003), (5, 1645333507), (5, 188748146801), (83, 4871), (911, 318917) y (2903, 18787) (secuencia OEIS : A282293 en OEIS )
Secuencia de Wieferich
Comience con a (1) cualquier número natural (> 1), a ( n ) = el primo más pequeño p tal que (a ( n - 1)) p - 1 = 1 (mod p 2 ) pero p 2 no divide a ( n - 1) - 1 o a ( n - 1) + 1. (Si p 2 divide a ( n - 1) - 1 o a ( n - 1) + 1, entonces la solución es una solución trivial ) Es una conjetura de que todo número natural k = a (1)> 1 hace que esta secuencia se vuelva periódica, por ejemplo, sea a (1) = 2:
- 2, 1093, 5, 20771, 18043, 5, 20771, 18043, 5, ..., obtiene un ciclo: {5, 20771, 18043}.
Sea a (1) = 83:
- 83, 4871, 83, 4871, 83, 4871, 83, ..., obtiene un ciclo: {83, 4871}.
Sea a (1) = 59 (una secuencia más larga):
- 59, 2777, 133287067, 13, 863, 7, 5, 20771, 18043, 5, ..., también obtiene 5.
Sin embargo, hay muchos valores de a (1) con estado desconocido, por ejemplo, sea a (1) = 3:
- 3, 11, 71, 47,? (No se conocen números primos de Wieferich en base 47).
Sea a (1) = 14:
- 14, 29,? (No hay primos de Wieferich conocidos en la base 29 excepto 2, pero 2 2 = 4 divide 29 - 1 = 28)
Sea a (1) = 39 (una secuencia más larga):
- 39, 8039, 617, 101, 1050139, 29,? (También obtiene 29)
Se desconoce que existen valores para a (1)> 1 de modo que la secuencia resultante no se convierta eventualmente en periódica.
Cuando a ( n - 1) = k , a ( n ) será (comenzar con k = 2): 1093, 11, 1093, 20771, 66161, 5, 1093, 11, 487, 71, 2693, 863, 29, 29131, 1093, 46021, 5, 7, 281,?, 13, 13, 25633, 20771, 71, 11, 19,?, 7, 7, 5, 233, 46145917691, 1613, 66161, 77867, 17, 8039, 11, 29, 23, 5, 229, 1283, 829,?, 257, 491531,?, ... (Para k = 21, 29, 47, 50, se desconoce incluso el siguiente valor)
Números de Wieferich
Un número de Wieferich es un número natural impar n que satisface la congruencia 2 φ ( n ) ≡ 1 (mod n 2 ), donde φ denota la función totient de Euler (según el teorema de Euler , 2 φ ( n ) ≡ 1 (mod n ) para todo número natural impar n ). Si el número n de Wieferich es primo, entonces es un número primo de Wieferich. Los primeros números de Wieferich son:
- 1, 1093, 3279, 3511, 7651, 10533, 14209, 17555, 22953, 31599, 42627, 45643, 52665, 68859, 94797, 99463, ... (secuencia A077816 en la OEIS )
Se puede demostrar que si solo hay un número finito de números primos de Wieferich, entonces solo hay un número finito de números de Wieferich. En particular, si los únicos números primos de Wieferich son 1093 y 3511, entonces existen exactamente 104 números de Wieferich, lo que coincide con el número de números de Wieferich conocidos actualmente. [2]
De manera más general, un número natural n es un número de Wieferich en base a , si a φ ( n ) ≡ 1 (mod n 2 ). [66] : 31
Otra definición especifica un número de Wieferich como un número natural impar n tal que n yno son coprimos , donde m es el orden multiplicativo de 2 módulo n . El primero de estos números es: [67]
- 21, 39, 55, 57, 105, 111, 147, 155, 165, 171, 183, 195, 201, 203, 205, 219, 231, 237, 253, 273, 285, 291, 301, 305, 309, 327, 333, 355, 357, 385, 399, ... (secuencia A182297 en la OEIS )
Como antes, si el número de Wieferich q es primo, entonces es un número primo de Wieferich.
Débil prima de Wieferich
Un primo de Wieferich débil a la base a es un primo p satisface la condición
- a p ≡ a (mod p 2 )
Cada prima de Wieferich a base a es también una prima de Wieferich débil a base a . Si la base a está libre de cuadrados , entonces un primo p es un primo de Wieferich débil a la base a si y solo si p es un primo de Wieferich a la base a .
Los primos de Wieferich débiles más pequeños a la base n son (comienzan con n = 0)
- 2, 2, 1093, 11, 2, 2, 66161, 5, 2, 2, 3, 71, 2, 2, 29, 29131, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 13, 13, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 7, 7, 2, 2, 46145917691, 3, 2, 2, 17, 8039, 2, 2, 23, 5, 2, 2, 3, ...
Wieferich prima con orden n
Para el número entero n ≥2, un primo de Wieferich a la base a con orden n es un primo p satisface la condición
- a p −1 ≡ 1 (mod p n )
Claramente, un primo de Wieferich a la base a con orden n es también un primo de Wieferich a la base a con orden m para todo 2 ≤ m ≤ n , y un primo de Wieferich a la base a con orden 2 es equivalente a un primo de Wieferich a la base a , por lo que solo puede considerar el caso n ≥ 3. Sin embargo, no hay primos de Wieferich conocidos en base 2 con orden 3. La primera base con primos de Wieferich conocidos de orden 3 es 9, donde 2 es un primo de Wieferich en base 9 con orden 3. Además, tanto el 5 como el 113 son primos de Wieferich a la base 68 con el pedido 3.
Números primos de Lucas – Wieferich
Sean P y Q números enteros. La secuencia de Lucas del primer tipo asociada con el par ( P , Q ) está definida por
para todos . Un número primo de Lucas-Wieferich asociado con ( P , Q ) es un primo p tal que U p - ε ( P , Q ) ≡ 0 (mod p 2 ), donde ε es igual al símbolo de Legendre . Todos los números primos de Wieferich son números primos de Lucas-Wieferich asociados con el par (3, 2). [3] : 2088
Números primos de Fibonacci-Wieferich
Sea Q = −1. Para cada número natural P , los primos de Lucas-Wieferich asociados con ( P , −1) se denominan primos de P -Fibonacci-Wieferich o primos de P - Pared-Sol-Sol . Si P = 1, se denominan números primos de Fibonacci-Wieferich . Si P = 2, se denominan números primos de Pell-Wieferich .
Por ejemplo, 241 es un primo de Lucas-Wieferich asociado con (3, −1), por lo que es un primo de 3-Fibonacci-Wieferich o un primo de 3-Wall-Sun-Sun. De hecho, 3 es un primo de P -Fibonacci – Wieferich si y solo si P es congruente con 0, 4 o 5 (mod 9), [ cita requerida ] que es análoga a la declaración de los primos de Wieferich tradicionales de que 3 es una base- n Primo de Wieferich si y solo si n es congruente con 1 u 8 (mod 9).
Lugares de Wieferich
Sea K un campo global , es decir, un campo numérico o un campo de función en una variable sobre un campo finito y sea E una curva elíptica . Si v es un lugar no arquimediano de norma q v de K y a ∈ K, con v ( a ) = 0 entonces v (a q v - 1 - 1) ≥ 1. v se llama un lugar de Wieferich para la base a , si v (a q v - 1-1 ) > 1, un lugar elíptico de Wieferich para la base P ∈ E , si N v P ∈ E 2 y un lugar elíptico fuerte de Wieferich para la base P ∈ E si n v P ∈ E 2 , donde n v es el orden de P módulo v y N v da el número de puntos racionales (sobre el campo de residuos de v ) de la reducción de E en v . [68] : 206
Ver también
- Muro-Sol-Sol primo : otro tipo de número primo que, en el sentido más amplio, también resultó del estudio de FLT
- Prima de Wolstenholme : otro tipo de número primo que, en el sentido más amplio, también resultó del estudio de FLT
- Wilson prime
- Tabla de congruencias : enumera otras congruencias satisfechas por números primos
- PrimeGrid - proyecto de búsqueda de primes
- BOINC
- Computación distribuída
Referencias
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Otras lecturas
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- Haussner, R. (1927), "Über numerische Lösungen der Kongruenz u p −1 - 1 ≡ 0 (mod p 2 )" , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (en alemán), 1927 (156): 223-226, doi : 10.1515 / crll.1927.156.223 , S2CID 117969297
- Ribenboim, P. (1979), Trece conferencias sobre el último teorema de Fermat , Springer-Verlag , págs.139, 151, ISBN 978-0-387-90432-0
- Guy, Richard K. (2004), Problemas no resueltos en teoría de números (3ª ed.), Springer Verlag , p. 14, ISBN 978-0-387-20860-2
- Crandall, RE; Pomerance, C. (2005), Números primos: una perspectiva computacional (PDF) , Springer Science + Business Media, págs. 31–32, ISBN 978-0-387-25282-7
- Ribenboim, P. (1996), El nuevo libro de registros de números primos , Nueva York: Springer-Verlag, págs. 333–346, ISBN 978-0-387-94457-9
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Wieferich prime" . MathWorld .
- Fermat- / Euler-cocientes ( un p -1 - 1) / p k con arbitraria k
- Una nota sobre los dos números primos de Wieferich conocidos
- Página del proyecto Wieferich Prime Search de PrimeGrid