En física teórica, Eugene Wigner y Erdal İnönü han discutido [1] la posibilidad de obtener de un grupo de Lie dado un grupo de Lie diferente (no isomórfico) mediante una contracción de grupo con respecto a un subgrupo continuo del mismo. Eso equivale a una operación limitante en un parámetro del álgebra de Lie , alterando las constantes de estructura de este álgebra de Lie de una manera singular no trivial, bajo circunstancias adecuadas. [2] [3]
Por ejemplo, el álgebra de Lie del grupo de rotación 3D SO (3) , [ X 1 , X 2 ] = X 3 , etc., puede reescribirse mediante un cambio de variables Y 1 = εX 1 , Y 2 = εX 2 , Y 3 = X 3 , como
- [ Y 1 , Y 2 ] = ε 2 Y 3 , [ Y 2 , Y 3 ] = Y 1 , [ Y 3 , Y 1 ] = Y 2 .
El límite de contracción ε → 0 trivializa el primer conmutador y por lo tanto produce el álgebra no isomórfica del grupo euclidiano plano , E 2 ~ ISO (2) . (Esto es isomorfo al grupo cilíndrico, que describe los movimientos de un punto en la superficie de un cilindro. Es el pequeño grupo , o subgrupo estabilizador , de cuatro vectores nulos en el espacio de Minkowski ). Específicamente, los generadores de traslación Y 1 , Y 2 , ahora genera el subgrupo normal abeliano de E 2 (cf. Extensión de grupo ), las transformaciones parabólicas de Lorentz .
Límites similares, de considerable aplicación en física (cf. Principios de correspondencia ), contrato
- el grupo de De Sitter SO (4, 1) ~ Sp (2, 2) al grupo de Poincaré ISO (3, 1) , ya que el radio de De Sitter diverge: R → ∞ ; o
- el grupo de Poincaré al grupo de Galilei , a medida que la velocidad de la luz diverge: c → ∞ ; [4] o
- el álgebra de Lie con corchetes de Moyal (equivalente a conmutadores cuánticos) al álgebra de Lie con corchetes de Poisson , en el límite clásico cuando la constante de Planck desaparece: ħ → 0 .
Notas
- ^ Inönü y Wigner 1953
- ^ Segal 1951 , p. 221
- ^ Saletan 1961 , p. 1
- ↑ Gilmore, 2006
Referencias
- Dooley, AH; Rice, JW (1985). "Sobre las contracciones de los grupos de Lie semisimple" (PDF) . Transacciones de la American Mathematical Society . 289 (1): 185-202. doi : 10.2307 / 1999695 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1999695 . Señor 0779059 .
- Gilmore, Robert (2006). Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y algunas de sus aplicaciones . Libros de Dover sobre matemáticas. Publicaciones de Dover . ISBN 0486445291. Señor 1275599 .
- Inönü, E .; Wigner, EP (1953). "Sobre la contracción de los grupos y sus representaciones" . Proc. Natl. Acad. Sci . 39 (6): 510–24. Código Bibliográfico : 1953PNAS ... 39..510I . doi : 10.1073 / pnas.39.6.510 . PMC 1063815 . PMID 16589298 .
- Saletan, EJ (1961). "Contracción de grupos de mentiras". Revista de Física Matemática . 2 (1): 1–21. Código bibliográfico : 1961JMP ..... 2 .... 1S . doi : 10.1063 / 1.1724208 .
- Segal, IE (1951). "Una clase de álgebras de operadores que están determinadas por grupos". Diario de matemáticas de Duke . 18 : 221. doi : 10.1215 / S0012-7094-51-01817-0 .