En física matemática , el espacio de Sitter n- dimensional (a menudo abreviado como dS n ) es una variedad de Lorentzian simétrica máxima con curvatura escalar positiva constante . Es el análogo de Lorentz de una n -esfera (con su métrica canónica de Riemann ).
La principal aplicación del espacio de De Sitter es su uso en la relatividad general , donde sirve como uno de los modelos matemáticos más simples del universo consistente con la expansión acelerada observada del universo . Más específicamente, el espacio de De Sitter es la solución de vacío simétrica máxima de las ecuaciones de campo de Einstein con una constante cosmológica positiva (correspondiente a una densidad de energía de vacío positiva y una presión negativa). Existe evidencia cosmológica de que el universo mismo es asintóticamente de Sitter .
El espacio de Sitter y el espacio anti-de Sitter llevan el nombre de Willem de Sitter (1872-1934), [1] [2] profesor de astronomía en la Universidad de Leiden y director del Observatorio de Leiden . Willem de Sitter y Albert Einstein trabajaron en estrecha colaboración en Leiden en la década de 1920 sobre la estructura del espacio-tiempo de nuestro universo. El espacio de Sitter también fue descubierto, de forma independiente y casi al mismo tiempo, por Tullio Levi-Civita . [3]
Definición
El espacio de Sitter se puede definir como una subvariedad de un espacio de Minkowski generalizado de una dimensión superior . Tome el espacio de Minkowski R 1, n con la métrica estándar :
El espacio de Sitter es la subvariedad descrita por el hiperboloide de una hoja.
dónde es una constante distinta de cero con dimensiones de longitud. La métrica en el espacio de De Sitter es la métrica inducida a partir de la métrica ambiental de Minkowski. La métrica inducida no es degenerada y tiene la firma de Lorentz. (Tenga en cuenta que si uno reemplaza con en la definición anterior, se obtiene un hiperboloide de dos hojas. La métrica inducida en este caso es positiva-definida , y cada hoja es una copia del n- espacio hiperbólico . Para una demostración detallada, vea el espacio de Minkowski § Geometría .)
El espacio de Sitter también se puede definir como el cociente O (1, n ) / O (1, n - 1) de dos grupos ortogonales indefinidos , lo que demuestra que es un espacio simétrico no riemanniano .
Topológicamente , el espacio de De Sitter es R × S n −1 (de modo que si n ≥ 3 , el espacio de De Sitter simplemente está conectado ).
Propiedades
El grupo de isometría del espacio de Sitter es el grupo de Lorentz O (1, n ) . Por lo tanto, la métrica tiene n ( n + 1) / 2 campos vectoriales de Killing independientes y es simétrica al máximo. Todo espacio simétrico máximo tiene una curvatura constante. El tensor de curvatura de Riemann de De Sitter está dado por
El espacio de Sitter es una variedad de Einstein ya que el tensor de Ricci es proporcional a la métrica:
Esto significa que el espacio de De Sitter es una solución al vacío de la ecuación de Einstein con constante cosmológica dada por
La curvatura escalar del espacio de De Sitter está dada por
Para el caso n = 4 , tenemos Λ = 3 / α 2 y R = 4Λ = 12 / α 2 .
Coordenadas estáticas
Podemos introducir coordenadas estáticas para De Sitter de la siguiente manera:
dónde da el estándar que incorpora la ( n - 2) -esfera en R n −1 . En estas coordenadas la métrica de De Sitter toma la forma:
Tenga en cuenta que hay un horizonte cosmológico en.
Rebanado plano
Dejar
dónde . Entonces en el coordenadas métricas lee:
dónde es la métrica plana en 's.
Configuración , obtenemos la métrica plana conforme:
Rebanado abierto
Dejar
dónde formando un con la métrica estándar . Luego, la métrica del espacio de De Sitter dice
dónde
es la métrica hiperbólica estándar.
Rebanado cerrado
Dejar
dónde s describe un . Entonces la métrica dice:
Cambiar la variable de tiempo a la hora conforme a través de obtenemos una métrica conformemente equivalente al universo estático de Einstein:
Estas coordenadas, también conocidas como "coordenadas globales" cubren la extensión máxima del espacio de De Sitter y, por lo tanto, pueden usarse para encontrar su diagrama de Penrose . [4]
rebanado dS
Dejar
dónde s describe un . Entonces la métrica dice:
dónde
es la métrica de un espacio dimensional de Sitter con radio de curvatura en coordenadas de corte abiertas. La métrica hiperbólica viene dada por:
Ésta es la continuación analítica de las coordenadas de corte abiertas bajo y también cambiar y porque cambian su naturaleza temporal / espacial.
Ver también
- Espacio anti-de Sitter
- Universo de Sitter
- Correspondencia AdS / CFT
- Métrica de Sitter-Schwarzschild
Referencias
- ^ de Sitter, W. (1917), "Sobre la relatividad de la inercia: Observaciones sobre la última hipótesis de Einstein", Proc. Kon. Ned. Acad. Mojado. , 19 : 1217–1225
- ^ de Sitter, W. (1917), "Sobre la curvatura del espacio", Proc. Kon. Ned. Acad. Mojado. , 20 : 229–243
- ^ Levi-Civita, Tullio (1917), "Realtà fisica di alcuni spazî normali del Bianchi", Rendiconti, Reale Accademia dei Lincei , 26 : 519–31
- ^ Hawking y Ellis. La estructura a gran escala del espacio-tiempo . Cambridge Univ. Prensa.
Otras lecturas
- Qingming Cheng (2001) [1994], "Espacio De Sitter" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Nomizu, Katsumi (1982), "La métrica de Lorentz-Poincaré en el semiespacio superior y su extensión", Hokkaido Mathematical Journal , 11 (3): 253-261, doi : 10.14492 / hokmj / 1381757803
- Coxeter, HSM (1943), "Un fondo geométrico para el mundo de De Sitter", American Mathematical Monthly , Mathematical Association of America, 50 (4): 217-228, doi : 10.2307 / 2303924 , JSTOR 2303924
- Susskind, L .; Lindesay, J. (2005), Introducción a los agujeros negros, la información y la revolución de la teoría de cuerdas: el universo holográfico , p. 119 (11,5,25)
enlaces externos
- Guía simplificada de los espacios de Sitter y anti-de Sitter Una introducción pedagógica a los espacios de Sitter y anti-de Sitter. El artículo principal está simplificado, casi sin matemáticas. El apéndice es técnico y está destinado a lectores con experiencia en física o matemáticas.